Separationsansatz

Der Separationsansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen. Der Produktansatz ist ein Spezialfall.

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch eine Trennungsfunktion ${\displaystyle \varphi (a,b)}${\displaystyle \varphi (a,b)} auf folgende Weise trennen lässt

${\displaystyle u(t,x)=\varphi (X(x),T(t)),}${\displaystyle u(t,x)=\varphi (X(x),T(t)),}

wobei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle T}${\displaystyle T} geeignete Funktionen sind.

Beim Produktansatz wählt man als Trennungsfunktion ${\displaystyle \varphi (a,b)=ab}${\displaystyle \varphi (a,b)=ab}, so dass sich die Lösung als ein Produkt der Form

${\displaystyle u(t,x)=X(x)T(t)}${\displaystyle u(t,x)=X(x)T(t)}

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle T}${\displaystyle T} in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

${\displaystyle \Phi (x,X,X',X'')=\lambda =\Psi (t,T,T',T'')}${\displaystyle \Phi (x,X,X',X'')=\lambda =\Psi (t,T,T',T'')}

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}}${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial x^{2}}}}.

die beispielsweise Longitudinalwellen in einem elastischen Stab beschreibt. Der Separationsansatz mit ${\displaystyle y(x,t)=f(x)g(t)}${\displaystyle y(x,t)=f(x)g(t)}:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x)g(t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}f(x)g(t)}{\partial x^{2}}}}${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x)g(t)}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}f(x)g(t)}{\partial x^{2}}}}

führt auf

${\displaystyle f(x){\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}=c^{2}{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}g(t)}${\displaystyle f(x){\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}=c^{2}{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}g(t)}

Nun folgt die „Separation der Variablen" mit Division durch ${\displaystyle f(x)g(t)}${\displaystyle f(x)g(t)} mit der Annahme ${\displaystyle y(x,t)\neq 0}${\displaystyle y(x,t)\neq 0} im Inneren der Fläche.

${\displaystyle {\frac {1}{g(t)}}{\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}=c^{2}{\frac {1}{f(x)}}{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}}${\displaystyle {\frac {1}{g(t)}}{\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}=c^{2}{\frac {1}{f(x)}}{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}}

Vereinfachung der Notation ${\displaystyle f''(x)={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}}${\displaystyle f''(x)={\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}} und ${\displaystyle g''(t)={\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}}${\displaystyle g''(t)={\frac {d^{2}g(t)}{dt^{2}}}} ergibt

${\displaystyle {\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{2}{\frac {f''(x)}{f(x)}}}${\displaystyle {\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{2}{\frac {f''(x)}{f(x)}}}

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also

${\displaystyle {\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{2}{\frac {f''(x)}{f(x)}}=\lambda }${\displaystyle {\frac {g''(t)}{g(t)}}=c^{2}{\frac {f''(x)}{f(x)}}=\lambda }

Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

${\displaystyle f''(x)={\frac {\lambda }{c^{2}}}f(x)}${\displaystyle f''(x)={\frac {\lambda }{c^{2}}}f(x)}

${\displaystyle g''(t)=\lambda g(t)}${\displaystyle g''(t)=\lambda g(t)}

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in ${\displaystyle y(x,t)}${\displaystyle y(x,t)} ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19).

• Mathematik-Online-Kurs der Uni Stuttgart: Separationsansatz

• Theorie partieller Differentialgleichungen