Schubkorrekturfaktor

Der Schubkorrekturfaktor ${\displaystyle \kappa }${\displaystyle \kappa } dient in der Technischen Mechanik zur Berücksichtigung der Veränderung infolge Verwölbung durch Querkraftschub der Schubfläche ${\displaystyle A_{S}}${\displaystyle A_{S}} im Vergleich zur eigentlich ebenen Balken-Querschnittsfläche ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.

Bei der Herleitung des Schubkorrekturfaktors ${\displaystyle \kappa }${\displaystyle \kappa } wird die Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{Q}}${\displaystyle \Pi _{Q}} der Querkraft ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q} (Schnittgröße) mit der Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{\tau }}${\displaystyle \Pi _{\tau }} der realen Schubspannung ${\displaystyle \tau _{(z)}}${\displaystyle \tau _{(z)}} gleichgesetzt.

Die Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{Q}}${\displaystyle \Pi _{Q}} der Querkraft ${\displaystyle Q}${\displaystyle Q} kann mit der mittleren Gleitung ${\displaystyle \gamma _{m}}${\displaystyle \gamma _{m}} bestimmt werden:

${\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot Q\cdot \gamma _{m}}${\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot Q\cdot \gamma _{m}}

Für die mittlere Gleitung ${\displaystyle \gamma _{m}}${\displaystyle \gamma _{m}} setzen wir das Elastizitätsgesetz der Querkraft ein:

${\displaystyle Q=\kappa \cdot G\cdot A\cdot \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma ={\frac {Q}{\kappa \cdot G\cdot A}}\quad \Rightarrow \quad \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}}${\displaystyle Q=\kappa \cdot G\cdot A\cdot \gamma \quad \Rightarrow \quad \gamma ={\frac {Q}{\kappa \cdot G\cdot A}}\quad \Rightarrow \quad \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}}

Die Formänderungsenergie ${\displaystyle \Pi _{\tau }}${\displaystyle \Pi _{\tau }} der realen Schubspannung ${\displaystyle \tau _{(z)}}${\displaystyle \tau _{(z)}} ergibt sich, indem die reale Schubspannung ${\displaystyle \tau _{(z)}}${\displaystyle \tau _{(z)}} über die Balken-Querschnittsfläche integriert wird:

${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot \tau _{(z)}\cdot \gamma \cdot dA}${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot \tau _{(z)}\cdot \gamma \cdot dA}

Für ${\displaystyle \gamma }${\displaystyle \gamma } wird das Hookesche Gesetz mit ${\displaystyle \tau =G\cdot \gamma }${\displaystyle \tau =G\cdot \gamma } eingesetzt:

${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\tau _{(z)}^{2}}{G}}\cdot dA}${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\tau _{(z)}^{2}}{G}}\cdot dA}

Weiterhin wird für die reale Schubspannungsverteilung ${\displaystyle \tau _{(z)}}${\displaystyle \tau _{(z)}} die Gleichung

${\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(z)}}{I_{y}\cdot b_{(z)}}}}${\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(z)}}{I_{y}\cdot b_{(z)}}}}

eingesetzt:

${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}${\displaystyle \Pi _{\tau }=\int _{A}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}

mit:

${\displaystyle A}${\displaystyle A} Balken-Querschnittsfläche

${\displaystyle S_{y(z)}}${\displaystyle S_{y(z)}} Statisches Moment

${\displaystyle G}${\displaystyle G} Schubmodul

${\displaystyle I_{y}}${\displaystyle I_{y}} axiales Flächenträgheitsmoment

${\displaystyle b_{(z)}}${\displaystyle b_{(z)}} Querschnittsbreite an der Stelle ${\displaystyle z}${\displaystyle z}

Werden beide Formänderungsenergien gleichgesetzt:

${\displaystyle \Pi _{Q}=\Pi _{\tau }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}={\frac {1}{2}}\cdot \int _{A}{\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}${\displaystyle \Pi _{Q}=\Pi _{\tau }={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {Q^{2}}{\kappa \cdot G\cdot A}}={\frac {1}{2}}\cdot \int _{A}{\frac {Q^{2}\cdot S_{y(z)}^{2}}{G\cdot I_{y}^{2}\cdot b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}

kann direkt nach dem Schubkorrekturfaktor ${\displaystyle \kappa }${\displaystyle \kappa } für dickwandige Querschnitte aufgelöst werden:

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{A}{\frac {S_{y(z)}^{2}}{b_{(z)}^{2}}}\cdot dA}

Auf gleiche Weise lässt sich auch der Schubkorrekturfaktor für dünnwandige Querschnitte herleiten. Hierbei muss lediglich die reale Schubspannung mit

${\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(\zeta )}}{I_{y}\cdot b_{(\zeta )}}}}${\displaystyle \tau _{(z)}={\frac {Q\cdot S_{y(\zeta )}}{I_{y}\cdot b_{(\zeta )}}}}

eingesetzt werden. Damit folgt für den Schubkorrekturfaktor:

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{\zeta }{\frac {S_{y(\zeta )}^{2}}{t_{(\zeta )}^{2}}}\cdot d\zeta }${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}={\frac {A}{I_{y}^{2}}}\cdot \int _{\zeta }{\frac {S_{y(\zeta )}^{2}}{t_{(\zeta )}^{2}}}\cdot d\zeta }

Darin ist ${\displaystyle \zeta }${\displaystyle \zeta } die Laufkoordinate entlang der Profilmittellinie des dünnwandigen Querschnittes und ${\displaystyle t_{(\zeta )}}${\displaystyle t_{(\zeta )}} die Querschnittsbreite an der jeweiligen Laufkoordinate.

Für dünnwandige Profile kann auch die von Robert Land eingeführte Näherung verwendet werden:

${\displaystyle \kappa \approx {\frac {A_{\text{Steg}}}{A}}}${\displaystyle \kappa \approx {\frac {A_{\text{Steg}}}{A}}}

In mancher Literatur wird für ${\displaystyle \kappa }${\displaystyle \kappa } der Kehrwert ${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}}${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}} verwendet. Damit würde z. B. die Formänderungsenergie der Querkraft

${\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\kappa \cdot Q^{2}}{G\cdot A}}}${\displaystyle \Pi _{Q}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\kappa \cdot Q^{2}}{G\cdot A}}}

lauten.

Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik. 1. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19978-4. 

• Technische Mechanik