Satz von Wolstenholme

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Er lautet:

Ist ${\displaystyle p\geq 5}${\displaystyle p\geq 5} eine Primzahl, so hat die harmonische Zahl

${\displaystyle H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}}${\displaystyle H(p-1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{p-1}}}

einen durch ${\displaystyle p^{2}}${\displaystyle p^{2}} teilbaren Zähler (in vollständig gekürzter und daher auch in jeder anderen Darstellung als Quotient zweier ganzer Zahlen).^{[1] [2]}

Zur Veranschaulichung einige Beispiele:

• ${\displaystyle p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},}${\displaystyle p=7{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {49}{20}},} der Zähler ${\displaystyle 49=1\cdot 7^{2}}${\displaystyle 49=1\cdot 7^{2}} ist durch ${\displaystyle 7^{2}}${\displaystyle 7^{2}} teilbar.
• ${\displaystyle p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},}${\displaystyle p=13{\text{:}}\quad 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{12}}={\tfrac {86021}{27720}},} der Zähler ${\displaystyle 86021=509\cdot 13^{2}}${\displaystyle 86021=509\cdot 13^{2}} ist durch ${\displaystyle 13^{2}}${\displaystyle 13^{2}} teilbar.

Der Satz von Wolstenholme ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}

durch ${\displaystyle p}${\displaystyle p} teilbar ist.^[3]

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},}${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{3}},}

die auch in der Form

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}}${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{3}}}

geschrieben werden kann.

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:^[4]

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}}${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}}

ist durch ${\displaystyle p^{3}}${\displaystyle p^{3}} teilbar.

• Der Zähler von

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1)^{2}}}}

ist durch ${\displaystyle p^{2}}${\displaystyle p^{2}} teilbar.

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.}${\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2\mod {p^{4}}.}

• Es gilt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.}${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1\mod {p^{4}}.}

• Der Zähler der Bernoulli-Zahl ${\displaystyle B_{p-3}}${\displaystyle B_{p-3}} ist durch ${\displaystyle p}${\displaystyle p} teilbar.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 (Selfridge und Pollack 1964)^[5] und 2124679 (Buhler, Crandall, Ernvall und Metsänkylä 1993).^[6] Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 10⁹ sein.^[7] Es wurde die Vermutung aufgestellt, dass unendlich viele Wolstenholme-Primzahlen existieren, und zwar etwa ${\displaystyle \log(\log(x))}${\displaystyle \log(\log(x))} unterhalb ${\displaystyle x}${\displaystyle x} (McIntosh 1995).^[8]

Betrachtet man nur Summanden mit ungeradem Nenner, also die Summe

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{p-2}}}${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\dots +{\frac {1}{p-2}}}

für eine Primzahl ${\displaystyle p\geq 3}${\displaystyle p\geq 3}, so ist der Zähler genau dann durch ${\displaystyle p}${\displaystyle p} teilbar, wenn die stärkere Form

${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\mod {p^{2}}}${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1\mod {p^{2}}}

des Satzes von Euler-Fermat gilt.^[9] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Aus dem Satz von Wilson folgt die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}}${\displaystyle {\binom {np-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}}}

für jede Primzahl ${\displaystyle p}${\displaystyle p} und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n.}${\displaystyle n.}

Charles Babbage bewies 1819^[10] die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}

für jede Primzahl ${\displaystyle p>2.}${\displaystyle p>2.}

Joseph Wolstenholme bewies 1862^[1] die Kongruenz

${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}

für jede Primzahl ${\displaystyle p>3.}${\displaystyle p>3.}

• G. H. Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8 (englisch; revidiert von D. R. Heath-Brown und J. H. Silverman).

• The Prime Glossary: Wolstenholme prime (englisch)
• Eric W. Weisstein: Wolstenholme’s Theorem. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ ^{a b} J. Wolstenholme: On certain properties of prime numbers. In: The quarterly journal of pure and applied mathematics 5. 1862, S. 35–39 (englisch).
2. ↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 112 (englisch; Theorem 115).
3. ↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 114 (englisch; Theorem 117).
4. ↑ Anthony Gardiner: Four problems on prime power divisibility. In: The American Mathematical Monthly 95. Dezember 1988, S. 926–931 (englisch).
5. ↑ J. L. Selfridge, B. W. Pollack: Fermat’s last theorem is true for any exponent up to 25,000. In: Notices of the AMS 11. 1964, S. 97 (englisch; nur Zusammenfassung; 16843 nicht ausdrücklich angegeben).
6. ↑ J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Metsänkylä: Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. In: Mathematics of Computation 61. Juli 1993, S. 151–153 (englisch).
7. ↑ Richard J. McIntosh, Eric L. Roettger: A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes. (PDF; 151 kB). In: Mathematics of Computation, 76, Oktober 2007, S. 2087–2094 (englisch).
8. ↑ Richard J. McIntosh: On the converse of Wolstenholme’s theorem. (PDF; 190 kB). In: Acta Arithmetica, 71, 1995, S. 381–389 (englisch).
9. ↑ Hardy, Wright: An introduction to the theory of numbers. 2008, S. 135 (englisch; Theorem 132).
10. ↑ Charles Babbage: Demonstration of a theorem relating to prime numbers. In: The Edinburgh philosophical journal 1. 1819, S. 46–49 (englisch; „n+1.n+2.n+3..." bedeutet „(n+1)(n+2)(n+3)..."; die Umkehrung wird auch behauptet: „otherwise it is not", aber nicht bewiesen und ist falsch für Quadrate von Wolstenholme-Primzahlen).

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