Satz von Vitali-Hahn-Saks

Der Satz von Vitali-Hahn-Saks ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Er geht auf Giuseppe Vitali ^[1] , Hans Hahn ^[2] und Stanisław Saks ^[3] zurück und besagt im Wesentlichen, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein solches ist.

Es sei ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ein Maßraum und darauf ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }} eine Folge von signierten Maßen, so dass ${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }} für jede messbare Menge ${\displaystyle E\in \Sigma }${\displaystyle E\in \Sigma } konvergiert. Weiter sei ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } ein endliches Maß auf ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}, so dass jedes ${\displaystyle \mu _{n}}${\displaystyle \mu _{n}} absolut stetig gegen ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } ist. Dann definiert die Formel ${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)}${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)} ein signiertes Maß auf ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}, das ebenfalls absolut stetig gegen ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } ist.^{[4] [5]}

Der besondere Inhalt dieses Satzes besteht darin, dass sich die σ-Additivität der ${\displaystyle \mu _{n}}${\displaystyle \mu _{n}} auf ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } überträgt und dass die Absolutstetigkeit gegen ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } erhalten bleibt. Von der Voraussetzung über die Existenz von ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } kann man sich befreien, denn für jede Folge ${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }} ist durch ${\displaystyle \textstyle \lambda (E):=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}(1+\|\mu _{n}\|)^{-1}|\mu _{n}|(E)}${\displaystyle \textstyle \lambda (E):=\sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}(1+\|\mu _{n}\|)^{-1}|\mu _{n}|(E)} ein Maß definiert, gegen das jedes ${\displaystyle \mu _{n}}${\displaystyle \mu _{n}} absolutstetig ist. Dabei sind ${\displaystyle |\mu _{n}|}${\displaystyle |\mu _{n}|} und ${\displaystyle \|\mu _{n}\|}${\displaystyle \|\mu _{n}\|} die Variation bzw. Totalvariationsnorm von ${\displaystyle \mu _{n}}${\displaystyle \mu _{n}}. Daher kann man obigen Satz auch ohne die Erwähnung der Absolutstetigkeit formulieren und erhält den folgenden auch als Konvergenzsatz von Nikodým bekannten Satz:

Es sei ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ein Maßraum und darauf ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }} eine Folge von endlichen signierten Maßen, so dass ${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\mu _{n}(E))_{n\in \mathbb {N} }} für jede messbare Menge ${\displaystyle E\in \Sigma }${\displaystyle E\in \Sigma } konvergiert und endlich ist. Dann definiert die Formel ${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)}${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)} ein signiertes Maß auf ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}.^[6]

Diese Version ist schwächer, da sie nicht mehr die Erhaltung der Absolutstetigkeit gegen ein weiteres Maß enthält. Man beachte, dass die Endlichkeit der ${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }} eine notwendige Bedingung ist, wie folgendes Beispiel verdeutlicht. Sei ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} } und ${\displaystyle \Sigma ={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}${\displaystyle \Sigma ={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}, wobei ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )} die Borelsche sigma-algebra auf ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } bezeichnet. Für ${\displaystyle E\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}${\displaystyle E\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}, definiere ${\displaystyle \mu _{n}(E):=\infty }${\displaystyle \mu _{n}(E):=\infty } falls ${\displaystyle E\cap [n,\infty )\not =\emptyset }${\displaystyle E\cap [n,\infty )\not =\emptyset }, andernfalls definiere ${\displaystyle \mu (E):=0}${\displaystyle \mu (E):=0}. Dann gilt ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=\infty }${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=\infty } falls ${\displaystyle E}${\displaystyle E} nicht nach oben beschränkt ist. Andernfalls gilt ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=0}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=0}. ${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)}${\displaystyle \mu (E):=\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)} ist kein Maß, da sowohl ${\displaystyle \mu ([1,\infty ))=\infty }${\displaystyle \mu ([1,\infty ))=\infty } aber auch ${\displaystyle \mu ([1,\infty ))=\sum _{i=1}^{\infty }\mu ([i,i+1))=0}${\displaystyle \mu ([1,\infty ))=\sum _{i=1}^{\infty }\mu ([i,i+1))=0} gelten müsste.

Der Raum der signierten Maße auf einem Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ist ein Vektorraum ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}, der mit der Totalvariation als Norm ein Banachraum wird. Eine wichtige Anwendung des Satzes von Vitali-Hahn-Saks besteht darin, die relativ schwach kompakten Mengen in ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )} als genau diejenigen beschränkten Mengen zu charakterisieren, die gleichmäßig absolutstetig gegen ein endliches Maß sind.^[7] Als weitere Anwendung ergibt sich, dass ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )} schwach folgenvollständig ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge des in der schwachen Topologie uniformen Raums ${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )}${\displaystyle M(\Omega ,\Sigma )} schwach konvergiert.^[8]

1. ↑ G. Vitali: Sull’integrazione per serie, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1907), Band 23, Seiten 137–155
2. ↑ H. Hahn: Über Folgen linearer Operationen, Monatshefte für Mathematik und Physik (1922), Band 32, Seiten 3–88
3. ↑ S. Saks: Addition to the Note on Some Functionals, Transactions of the American Mathematical Society (1933), Band 35, Seiten 965–970
4. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.3
5. ↑ J. L. Doob: Measure Theory, Kapitel IX, Absatz 10: Vitali-Hahn-Saks-theorem
6. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.4
7. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.7
8. ↑ Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.5

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