Satz von Lerch (Zahlentheorie)

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Der Satz von Lerch ist ein Lehrsatz der elementaren Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den österreichisch-tschechischen Mathematiker Matyáš Lerch zurück und beinhaltet eine Formel über Kongruenzen gewisser Potenzsummen für ungerade Primzahlen. Man bezeichnet die Formel auch als lerchsche Formel der elementaren Zahlentheorie. Ihre Herleitung beruht auf dem Satz von Wilson und dem kleinen fermatschen Satz.

Die lerchsche Formel besagt:[1] [2]

Jede Primzahl   p > 2 {\displaystyle p>2} {\displaystyle p>2}   erfüllt die Kongruenz
1 p − 1 + 2 p − 1 + ⋯ + ( p − 1 ) p − 1 ≡ p + ( p − 1 ) ! ( mod p 2 ) {\displaystyle {1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}}\equiv {p+(p-1)!}{\pmod {p^{2}}}} {\displaystyle {1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}}\equiv {p+(p-1)!}{\pmod {p^{2}}}}  .
1 2 + 2 2 = 5 ≡ 5 = 3 + ( 3 − 1 ) ! ( mod 9 ) {\displaystyle {1^{2}+2^{2}}=5\equiv {5}={3+(3-1)!}{\pmod {9}}} {\displaystyle {1^{2}+2^{2}}=5\equiv {5}={3+(3-1)!}{\pmod {9}}}
1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 = 354 ≡ 4 ≡ 29 = 5 + ( 5 − 1 ) ! ( mod 25 ) {\displaystyle {1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}}=354\equiv {4}\equiv {29}={5+(5-1)!}{\pmod {25}}} {\displaystyle {1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}}=354\equiv {4}\equiv {29}={5+(5-1)!}{\pmod {25}}}
1 6 + 2 6 + 3 6 + 4 6 + 5 6 + 6 6 = 67.171 ≡ 41 ≡ 727 = 7 + ( 7 − 1 ) ! ( mod 49 ) {\displaystyle {1^{6}+2^{6}+3^{6}+4^{6}+5^{6}+6^{6}}=67.171\equiv {41}\equiv {727}={7+(7-1)!}{\pmod {49}}} {\displaystyle {1^{6}+2^{6}+3^{6}+4^{6}+5^{6}+6^{6}}=67.171\equiv {41}\equiv {727}={7+(7-1)!}{\pmod {49}}}
1 10 + 2 10 + 3 10 + 4 10 + 5 10 + 6 10 + 7 10 + 8 10 + 9 10 + 10 10 = 14.914.341.925 ≡ 21 ≡ 3.628.811 = 11 + ( 11 − 1 ) ! ( mod 121 ) {\displaystyle {1^{10}+2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}+6^{10}+7^{10}+8^{10}+9^{10}+10^{10}}=14.914.341.925\equiv {21}\equiv {3.628.811}={11+(11-1)!}{\pmod {121}}} {\displaystyle {1^{10}+2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}+6^{10}+7^{10}+8^{10}+9^{10}+10^{10}}=14.914.341.925\equiv {21}\equiv {3.628.811}={11+(11-1)!}{\pmod {121}}}

Herleitung der Formel nach Sierpiński

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Nach dem Satz von Wilson ist der Quotient

r 0 := ( p − 1 ) ! + 1 p {\displaystyle r_{0}:={\frac {(p-1)!+1}{p}}} {\displaystyle r_{0}:={\frac {(p-1)!+1}{p}}}

eine ganze Zahl.

In gleicher Weise sind nach dem kleinen Satz von Fermat die Quotienten

r k := k p − 1 − 1 p {\displaystyle r_{k}:={\frac {k^{p-1}-1}{p}}} {\displaystyle r_{k}:={\frac {k^{p-1}-1}{p}}}   für   k = 1 , … , p − 1 {\displaystyle k=1,\ldots ,p-1} {\displaystyle k=1,\ldots ,p-1}

ebenfalls ganze Zahlen.

Daraus folgt zunächst

k p − 1 = p r k + 1 {\displaystyle k^{p-1}={pr_{k}+1}} {\displaystyle k^{p-1}={pr_{k}+1}}   für   k = 1 , … , p − 1 {\displaystyle k=1,\ldots ,p-1} {\displaystyle k=1,\ldots ,p-1}

sowie

( p − 1 ) ! = p r 0 − 1 {\displaystyle (p-1)!={pr_{0}-1}} {\displaystyle (p-1)!={pr_{0}-1}}  .

Damit ergibt sich einerseits

( ( p − 1 ) ! ) p − 1 = 1 p − 1 ⋅ 2 p − 1 ⋅ ⋯ ⋅ ( p − 1 ) p − 1 = ( p r 1 + 1 ) ⋅ ( p r 2 + 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ ( p r p − 1 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&={1^{p-1}\cdot 2^{p-1}\cdot \;\cdots \;\cdot (p-1)^{p-1}}\\&=(pr_{1}+1)\cdot (pr_{2}+1)\cdot \;\cdots \;\cdot (pr_{p-1}+1)\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&={1^{p-1}\cdot 2^{p-1}\cdot \;\cdots \;\cdot (p-1)^{p-1}}\\&=(pr_{1}+1)\cdot (pr_{2}+1)\cdot \;\cdots \;\cdot (pr_{p-1}+1)\\\end{aligned}}}  

und dann[3]

( ( p − 1 ) ! ) p − 1 ≡ p r 1 ⋅ 1 p − 2 + p r 2 ⋅ 1 p − 2 + ⋯ + p r p − 1 ⋅ 1 p − 2 + 1 p − 1 ( mod p 2 ) ≡ p ⋅ ( r 1 + r 2 + ⋯ + r p − 1 ) + 1 ( mod p 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&{\equiv }\;\;pr_{1}\cdot 1^{p-2}+pr_{2}\cdot 1^{p-2}+\cdots +pr_{p-1}\cdot 1^{p-2}+1^{p-1}{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;p\cdot (r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{p-1})+1{\pmod {p^{2}}}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&{\equiv }\;\;pr_{1}\cdot 1^{p-2}+pr_{2}\cdot 1^{p-2}+\cdots +pr_{p-1}\cdot 1^{p-2}+1^{p-1}{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;p\cdot (r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{p-1})+1{\pmod {p^{2}}}\\\end{aligned}}}  ,

Andererseits gilt nach dem binomischen Lehrsatz

( ( p − 1 ) ! ) p − 1 = ( p r 0 − 1 ) p − 1 = ∑ j = 0 p − 1 ( p − 1 j ) ⋅ ( p r 0 ) j ⋅ ( − 1 ) p − 1 − j {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&=(pr_{0}-1)^{p-1}\\&=\sum _{j=0}^{p-1}{\binom {p-1}{j}}\cdot (pr_{0})^{j}\cdot (-1)^{p-1-j}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&=(pr_{0}-1)^{p-1}\\&=\sum _{j=0}^{p-1}{\binom {p-1}{j}}\cdot (pr_{0})^{j}\cdot (-1)^{p-1-j}\\\end{aligned}}}  

und damit[4]

( ( p − 1 ) ! ) p − 1 ≡ 1 − ( p − 1 ) ⋅ p r 0 ( mod p 2 ) ≡ 1 − p 2 r 0 + p r 0 ( mod p 2 ) ≡ 1 + p r 0 ( mod p 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&{\equiv }\;\;1-(p-1)\cdot pr_{0}{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;1-p^{2}r_{0}+pr_{0}{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;1+pr_{0}{\pmod {p^{2}}}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}{((p-1)!)}^{p-1}&{\equiv }\;\;1-(p-1)\cdot pr_{0}{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;1-p^{2}r_{0}+pr_{0}{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;1+pr_{0}{\pmod {p^{2}}}\\\end{aligned}}}  .

Zusammengenommen hat man also die Kongruenz

p ⋅ ( r 1 + r 2 + ⋯ + r p − 1 ) ≡ p r 0 ( mod p 2 ) {\displaystyle p\cdot (r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{p-1})\equiv \;\;pr_{0}{\pmod {p^{2}}}} {\displaystyle p\cdot (r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{p-1})\equiv \;\;pr_{0}{\pmod {p^{2}}}}  .

Geht man mit dieser Kongruenz in die Gleichung

1 p − 1 + 2 p − 1 + ⋯ + ( p − 1 ) p − 1 = ( p r 1 + 1 ) + ( p r 2 + 1 ) + ⋯ + ( p r p − 1 + 1 ) = p ⋅ ( r 1 + r 2 + ⋯ + r p − 1 ) + p − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}&=(pr_{1}+1)+(pr_{2}+1)+\;\cdots \;+(pr_{p-1}+1)\\&=p\cdot (r_{1}+r_{2}+\;\cdots \;+r_{p-1})+p-1\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}&=(pr_{1}+1)+(pr_{2}+1)+\;\cdots \;+(pr_{p-1}+1)\\&=p\cdot (r_{1}+r_{2}+\;\cdots \;+r_{p-1})+p-1\\\end{aligned}}}  ,

so ergibt sich schließlich

1 p − 1 + 2 p − 1 + ⋯ + ( p − 1 ) p − 1 ≡ p r 0 + p − 1 ( mod p 2 ) ≡ p + p r 0 − 1 ( mod p 2 ) ≡ p + ( p − 1 ) ! ( mod p 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}&{\equiv }\;\;pr_{0}+p-1{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;p+pr_{0}-1{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;p+(p-1)!{\pmod {p^{2}}}\\\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}&{\equiv }\;\;pr_{0}+p-1{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;p+pr_{0}-1{\pmod {p^{2}}}\\&{\equiv }\;\;p+(p-1)!{\pmod {p^{2}}}\\\end{aligned}}}  .

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. ↑ Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0, S. 225–226 (MR0930670). 
  2. ↑ Siegfried Gottwald (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankturt/Main 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 283. 
  3. ↑ Hier geht ein, dass bei der Multiplikation von p {\displaystyle p} {\displaystyle p}-Terme aus zwei oder mehr Klammern das Produkt modulo p 2 {\displaystyle p^{2}} {\displaystyle p^{2}} den Wert Null hat.
  4. ↑ An dieser Stelle kommt zum Tragen, dass p > 2 {\displaystyle p>2} {\displaystyle p>2} und damit als Primzahl notwendigerweise ungerade ist.
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