Satz von Hardy und Ramanujan

Der Satz von Hardy und Ramanujan aus der Zahlentheorie besagt, dass die Anzahl verschiedener Primfaktoren ${\displaystyle \omega (n)}${\displaystyle \omega (n)} einer ganzen Zahl ${\displaystyle n}${\displaystyle n} die normale Größenordnung ${\displaystyle \log(\log(n))}${\displaystyle \log(\log(n))} hat. Der Satz wurde 1917 von Godfrey Harold Hardy und S. Ramanujan bewiesen.^[1]

Eine arithmetische Funktion ${\displaystyle f(n)}${\displaystyle f(n)} hat die normale Größenordnung ${\displaystyle g(n)}${\displaystyle g(n)}, wenn für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}${\displaystyle \varepsilon >0} gilt

${\displaystyle (1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)}${\displaystyle (1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)}

für fast alle n, das heißt, der Anteil der ${\displaystyle n<x}${\displaystyle n<x}, für die die Ungleichung nicht gilt, geht für ${\displaystyle x\to \infty }${\displaystyle x\to \infty } gegen null.^[2]

Genauer gilt:^[2]

Die Anzahl der ${\displaystyle n\leq x}${\displaystyle n\leq x}, für die

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|>{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\delta }}${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|>{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\delta }}

gilt, ist für jedes ${\displaystyle \delta >0}${\displaystyle \delta >0} von der Ordnung ${\displaystyle o(x)}${\displaystyle o(x)} (mit den Landau-Symbolen, das heißt der Anteil der ${\displaystyle n\leq x}${\displaystyle n\leq x}, für die die Ungleichung gilt, verschwindet asymptotisch für ${\displaystyle x\to \infty }${\displaystyle x\to \infty }).

Der Beweis findet sich im Zahlentheorie-Lehrbuch von Hardy und Wright.^[3] Einen vereinfachten Beweis gab Pál Turán 1934.^[4] Turán erweiterte den Satz auf weitere stark additive, arithmetische Funktionen.

Hubert Delange bewies 1953,^[5] dass ${\displaystyle \omega (n)}${\displaystyle \omega (n)} im Wesentlichen eine gaußsche Normalverteilung besitzt, was auch Gegenstand des Satzes von Erdős-Kac ist.^[6]

Der Satz gilt auch für die Funktion ${\displaystyle \Omega (n)}${\displaystyle \Omega (n)}, bei der die Primfaktoren mit ihrer Multiplizität summiert werden, d. h. ${\displaystyle \Omega (n)}${\displaystyle \Omega (n)} ist die Anzahl der Faktoren der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle n}${\displaystyle n}.

1. ↑ Hardy, Ramanujan: The normal number of prime factors of a number n. In: Quarterly Journal of Mathematics. Band 48, 1917, S. 76–92.
2. ↑ ^{a b} Hardy, Wright: An Introduction to number theory. Oxford University Press, 1975, S. 356. Übersetzung: Einführung in die Zahlentheorie. Oldenbourg, München 1958, S. 404.
3. ↑ Hardy, Wright: Einführung in die Zahlentheorie. Oldenbourg, München 1958, S. 405.
4. ↑ Pál Turán: On a theorem of Hardy and Ramanujan. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 9, 1934, S. 274–276.
5. ↑ Delange, Compte Rend. Acad. Sci. Paris, Band 237, 1953, S. 543–544. Nach Halberstam: Über additive zahlentheoretische Funktionen. J. Reine Angewandte Mathematik, Band 195, 1955, S. 210, SUB Göttingen.
6. ↑ Erdös, Kac, Am. J. Math., Band 38, 1940, S. 738–742, und Alfred Renyi, Pal Turan: On a theorem of Erdös-Kac. Acta Arithmetica, Band 4, 1958, S. 71–84, Digitalisat.

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