Satz von Euler (Vierecksgeometrie)

Der Satz von Euler der Vierecksgeometrie ist ein geometrischer Lehrsatz, der eine grundlegende Identitätsgleichung über den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines Vierecks und den Längen seiner beiden Diagonalen angibt. Der Satz ist einer der vielen Beiträge des großen Schweizer Mathematikers Leonhard Euler zur Elementargeometrie.

Der Satz lautet wie folgt:^[1]

Gegeben sei ein konvexes Viereck   ${\displaystyle \square ABCD}${\displaystyle \square ABCD}   der euklidischen Ebene.

Auf den beiden Diagonalen   ${\displaystyle AC=e}${\displaystyle AC=e}   und   ${\displaystyle BD=f}${\displaystyle BD=f}   seien   ${\displaystyle M}${\displaystyle M}   bzw.   ${\displaystyle N}${\displaystyle N}   die beiden Mittelpunkte.

Dann gilt:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+4\cdot |MN|^{2}}${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+4\cdot |MN|^{2}}

oder

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4\cdot g^{2}}${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4\cdot g^{2}} .

Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar die bekannte Parallelogrammgleichung.

Denn im Falle, dass   ${\displaystyle \square ABCD}${\displaystyle \square ABCD}   ein Parallelogramm ist, folgt   ${\displaystyle M=N}${\displaystyle M=N}  , also   ${\displaystyle |MN|=g=0}${\displaystyle |MN|=g=0}  , sowie   ${\displaystyle |AB|=|CD|=a=c}${\displaystyle |AB|=|CD|=a=c}   und   ${\displaystyle |BC|=|AD|=b=d}${\displaystyle |BC|=|AD|=b=d}   und damit   ${\displaystyle 2\cdot (|AB|^{2}+|BC|^{2})=|AC|^{2}+|BD|^{2}}${\displaystyle 2\cdot (|AB|^{2}+|BC|^{2})=|AC|^{2}+|BD|^{2}} oder ${\displaystyle 2\cdot (a^{2}+c^{2})=e^{2}+f^{2}}${\displaystyle 2\cdot (a^{2}+c^{2})=e^{2}+f^{2}} .

Der Satz von Euler lässt sich unter Zuhilfenahme des folgenden Hilfssatzes herleiten:

Für ein Dreieck   ${\displaystyle \triangle ABC}${\displaystyle \triangle ABC}   der euklidischen Ebene, dessen Seite   ${\displaystyle BC}${\displaystyle BC}   den Mittelpunkt   ${\displaystyle M}${\displaystyle M}   hat, gilt stets:

${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2\cdot (|AM|^{2}+|BM|^{2})=2\cdot (|AM|^{2}+|CM|^{2})}${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2\cdot (|AM|^{2}+|BM|^{2})=2\cdot (|AM|^{2}+|CM|^{2})}

oder

${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2\cdot \left[{\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+e^{2}}\right]}${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2\cdot \left[{\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+e^{2}}\right]}  .

Die soeben genannte Gleichung – welche offenbar eine andere Version der Apollonios-Gleichung darstellt – wurde schon von Apollonios von Perge angegeben. Sie ist auch bei Pappus Alexandrinus zu finden.^{[2] [3]}

• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873). ^[4]

1. ↑ Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, S. 65
2. ↑ Riecke, op. cit., S. 31, 65
3. ↑ Der Hilfssatz lässt sich sowohl aus dem Satz von Stewart als auch mit dem Kosinussatz herleiten.
4. ↑ Vgl. Artikel über Riecke auf Wikisource

• Vierecksgeometrie
• Satz (Ebene Geometrie)
• Leonhard Euler als Namensgeber