Satz von Atiyah-Jänich

Der Satz von Atiyah-Jänich ist ein Lehrsatz aus der Funktionalanalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Fredholm-Operatoren und K-Theorie her.

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {H}}}${\displaystyle {\mathcal {H}}} der (bis auf Isomorphie eindeutige) unendlich-dimensionale separable Hilbertraum und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}${\displaystyle {\mathcal {F}}} der Raum der beschränkten Fredholm-Operatoren auf ${\displaystyle {\mathcal {H}}}${\displaystyle {\mathcal {H}}} mit der Operatornorm-Topologie.

Für einen kompakten Raum ${\displaystyle X}${\displaystyle X} bezeichne ${\displaystyle K(X)}${\displaystyle K(X)} seine topologische K-Theorie. Elemente in ${\displaystyle K(X)}${\displaystyle K(X)} werden durch formale Differenzen

${\displaystyle \left[E_{0}\right]-\left[E_{1}\right]}${\displaystyle \left[E_{0}\right]-\left[E_{1}\right]},

von Vektorbündeln über ${\displaystyle X}${\displaystyle X} repräsentiert. Wir wollen einer stetigen Abbildung ${\displaystyle F\colon X\to {\mathcal {F}}}${\displaystyle F\colon X\to {\mathcal {F}}} ein solches Element aus ${\displaystyle K(X)}${\displaystyle K(X)} zuordnen.

Für eine stetige Abbildung ${\displaystyle F\colon X\to {\mathcal {F}}}${\displaystyle F\colon X\to {\mathcal {F}}} hat man in jedem Punkt ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X} die endlich-dimensionalen Vektorräume

${\displaystyle \mathrm {ker} (F(x))}${\displaystyle \mathrm {ker} (F(x))} und ${\displaystyle \mathrm {coker} (F(x))}${\displaystyle \mathrm {coker} (F(x))}, das heißt Kern und Kokern des Operators ${\displaystyle F(x)}${\displaystyle F(x)}.

Im Allgemeinen ist es möglich, dass die Dimension dieser Vektorräume in einzelnen Punkten ${\displaystyle x\in X}${\displaystyle x\in X} unstetig ist. Jedoch ist jede Abbildung ${\displaystyle F}${\displaystyle F} homotop zu einer stetigen Abbildung ${\displaystyle F^{\prime }}${\displaystyle F^{\prime }}, für die

${\displaystyle (\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}}${\displaystyle (\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}} und ${\displaystyle (\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}}${\displaystyle (\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}}

konstante Dimension haben und Untervektorbündel von ${\displaystyle X\times {\mathcal {H}}}${\displaystyle X\times {\mathcal {H}}} sind, das heißt wir haben ein Element

${\displaystyle \left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]\in K(X)}${\displaystyle \left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]\in K(X)}.

Weiterhin hängt dieses Element nicht davon ab, welche zu ${\displaystyle F}${\displaystyle F} homotope Abbildung ${\displaystyle F^{\prime }}${\displaystyle F^{\prime }} verwendet wird.

Daher definiert diese Konstruktion eine Abbildung

${\displaystyle \mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)}${\displaystyle \mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)}

von der Menge der Homotopieklassen ${\displaystyle \left[X,{\mathcal {F}}\right]}${\displaystyle \left[X,{\mathcal {F}}\right]} von Abbildungen von ${\displaystyle X}${\displaystyle X} nach ${\displaystyle {\mathcal {F}}}${\displaystyle {\mathcal {F}}} in ${\displaystyle K(X)}${\displaystyle K(X)}. Sie heißt Indexabbildung und die formale Differenz ${\displaystyle \left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]}${\displaystyle \left[(\mathrm {ker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]-\left[(\mathrm {coker} (F^{\prime }(x)))_{x\in X}\right]} heißt Indexbündel.

Der von Michael Atiyah vermutete und von Klaus Jänich bewiesene Lehrsatz besagt, dass

${\displaystyle \mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)}${\displaystyle \mathrm {ind} \colon \left[X,{\mathcal {F}}\right]\to K(X)}

eine Bijektion ist.

Der Raum der Fredholm-Operatoren realisiert also den die topologische K-Theorie klassifizierenden Raum ${\displaystyle BU}${\displaystyle BU}.

Betrachtet man den Spezialfall ${\displaystyle X=\{p\}}${\displaystyle X=\{p\}} eines einpunktigen Raums, so ist einerseits ${\displaystyle K(X)\cong \mathbb {Z} }${\displaystyle K(X)\cong \mathbb {Z} }, andererseits können die stetigen Abbildungen ${\displaystyle X\rightarrow {\mathcal {F}}}${\displaystyle X\rightarrow {\mathcal {F}}} mit den Fredholmoperatoren ${\displaystyle F(p)}${\displaystyle F(p)} identifiziert werden. Man zeigt, dass die Homotopieklasse einer Abbildung ${\displaystyle X=\{p\}\rightarrow {\mathcal {F}}}${\displaystyle X=\{p\}\rightarrow {\mathcal {F}}} durch den Fredholm-Index von ${\displaystyle F(p)}${\displaystyle F(p)} bestimmt wird und obige Abbildung ${\displaystyle \mathrm {ind} }${\displaystyle \mathrm {ind} } bei der Identifikation von ${\displaystyle K(X)}${\displaystyle K(X)} mit ${\displaystyle \mathbb {Z} }${\displaystyle \mathbb {Z} } genau mit dem Fredholm-Index übereinstimmt. Daher verallgemeinert die Indexabbildung den Fredholm-Index.

• Klaus Jänich: Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren. Math. Ann. 161 (1965) 129–142.
• Max Karoubi: Espaces classifiants en K-théorie. Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970) 75–115.
• Bernhelm Booss: Topologie und Analysis. Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel. Hochschultext. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. ISBN 3-540-08451-7

Atiyah: Algebraic topology and operators in Hilbert space

• Funktionalanalysis
• Satz (Mathematik)