Rosette (Kurve)

• Foucaultsches Pendel
  Foucaultsches Pendel
• Abbildung 4: Rosette: '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'
  Abbildung 4: Rosette: ${\displaystyle n=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi }${\displaystyle n=\pi ,\ 0\leq \varphi \leq 40\pi }

Eine Rosette ist in der Geometrie eine ebene Kurve, die sich in Polarkoordinaten durch eine Gleichung

${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )\ ,\ n=1,2,3,\dots ,\;a>0,}${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )\ ,\ n=1,2,3,\dots ,\;a>0,}

beschreiben lässt, d. h. die zugehörige Parameterdarstellung ist

${\displaystyle x=a\cos(n\varphi )\;\cos(\varphi )}${\displaystyle x=a\cos(n\varphi )\;\cos(\varphi )},

${\displaystyle y=a\cos(n\varphi )\;\sin(\varphi )}${\displaystyle y=a\cos(n\varphi )\;\sin(\varphi )}.

Falls

${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1} ist, ergibt sich der Kreis mit der Gleichung ${\displaystyle (x-0{,}5)^{2}+y^{2}=0{,}25}${\displaystyle (x-0{,}5)^{2}+y^{2}=0{,}25},

${\displaystyle n=2}${\displaystyle n=2} ist, ergibt sich ein Quadrifolium (4-blättrige Rosette),

${\displaystyle n=3}${\displaystyle n=3} ist, ergibt sich ein Trifolium (3-blättrige Rosette),

${\displaystyle n=4}${\displaystyle n=4} ist, ergibt sich ein 8-blättrige Rosette,

${\displaystyle n=5}${\displaystyle n=5} ist, ergibt sich ein 5-blättrige Rosette.

Für

${\displaystyle n}${\displaystyle n} gerade ist die Rosette ${\displaystyle 2n}${\displaystyle 2n}-blättrig.

${\displaystyle n}${\displaystyle n} ungerade ist die Rosette ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-blättrig.

Bemerkung: Die Verwendung der Sinusfunktion statt der Kosinusfunktion bewirkt nur eine Drehung der Rosette.

Verallgemeinerungen

1. Lässt man für ${\displaystyle n}${\displaystyle n} rationale Werte zu, so ergeben sich auch geschlossene Kurven (s. Abb. 2).
2. Für irrationale Werte von ${\displaystyle n}${\displaystyle n} sind die Kurven nicht geschlossen (s. Abb. 4).
3. Addiert man zu ${\displaystyle r}${\displaystyle r} eine Konstante: ${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )+\color {magenta}{c}}${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )+\color {magenta}{c}}, ergeben sich Rosetten mit großen und kleinen Blütenblättern (s. Abb. 3).

Bemerkung: Das Foucaultsche Pendel beschreibt eine offene Rosettenkurve.

Eine Rosette ${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )}${\displaystyle r=a\cos(n\varphi )} besitzt den Flächeninhalt

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2},円d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2},円d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}

falls ${\displaystyle n}${\displaystyle n} gerade ist, und

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2},円d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(n\varphi ))^{2},円d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2n\pi )}{4n}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}

falls ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ungerade ist.

Es besteht also ein einfacher Zusammenhang mit der Fläche des umgebenden Kreises mit Radius ${\displaystyle a}${\displaystyle a}.

• Eric W. Weisstein: Rose Curve. In: MathWorld (englisch).
• Rosetten zeichnen und als Vektorgrafik exportieren (Sinusdefinition)

• Kurve (Geometrie)