Projektive Gerade

In der Mathematik, insbesondere der projektiven Geometrie, ist die projektive Gerade ein eindimensionaler projektiver Raum.

Definition

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Es sei $K$ {\displaystyle K} ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei $V=K^{2}$ {\displaystyle V=K^{2}} der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale $K$ {\displaystyle K}-Vektorraum. Die projektive Gerade $P^{1}K$ {\displaystyle P^{1}K} ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von $V$ {\displaystyle V}.

Mit anderen Worten: die projektive Gerade ist der Quotientenraum

P^{1}K=(K^{2}\setminus \left\{0\right\})/\sim

{\displaystyle P^{1}K=(K^{2}\setminus \left\{0\right\})/\sim }

bezüglich der Äquivalenzrelation

(x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})\Longleftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}:x_{1}=\lambda x_{2},y_{1}=\lambda y_{2}

{\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})\Longleftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}:x_{1}=\lambda x_{2},y_{1}=\lambda y_{2}}.

Diese Äquivalenzrelation identifiziert zwei Punkte genau dann, wenn sie im selben eindimensionalen Untervektorraum, also auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen.

Homogene Koordinaten

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Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als

\left[x:y\right]

{\displaystyle \left[x:y\right]}

mit $x,y\in K,(x,y)\not =(0,0)$ {\displaystyle x,y\in K,(x,y)\not =(0,0)} dargestellt werden, wobei $\left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right]$ {\displaystyle \left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right]} für alle $\lambda \in K\setminus \{0\}$ {\displaystyle \lambda \in K\setminus \{0\}} gilt.

Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen

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Auf der riemannschen Zahlenkugel sind die komplexen Zahlen einschließlich ∞ darstellbar.

Die projektive Gerade $P^{1}K$ {\displaystyle P^{1}K} kann mit $K\cup \left\{\infty \right\}$ {\displaystyle K\cup \left\{\infty \right\}}, der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade $K^{1}$ {\displaystyle K^{1}} identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade $K=K^{1}$ {\displaystyle K=K^{1}} mit der in homogenen Koordinaten durch

\left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}

{\displaystyle \left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}}

gegebenen Teilmenge der $P^{1}K$ {\displaystyle P^{1}K} identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der $P^{1}K$ {\displaystyle P^{1}K} bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":

\infty =[1:0].

{\displaystyle \infty =[1:0].}

Beispiele

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Die reelle projektive Gerade $P^{1}\mathbb {R}$ {\displaystyle P^{1}\mathbb {R} } ist homöomorph zum Kreis $S^{1}$ {\displaystyle S^{1}}.
Die komplexe projektive Gerade $P^{1}\mathbb {C}$ {\displaystyle P^{1}\mathbb {C} } wird als Riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, sie ist homöomorph zur 2-Sphäre $S^{2}$ {\displaystyle S^{2}}.
Die projektive Gerade $P^{1}F_{q}$ {\displaystyle P^{1}F_{q}} über dem endlichen Körper $F_{q}$ {\displaystyle F_{q}} hat $q+1$ {\displaystyle q+1} Elemente.

Automorphismen

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Möbiustransformation auf

P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}

{\displaystyle P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}}

Die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} (2,K)$ {\displaystyle \operatorname {GL} (2,K)} wirkt auf $K^{2}$ {\displaystyle K^{2}} durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe $\operatorname {PGL} (2,K)$ {\displaystyle \operatorname {PGL} (2,K)} ist die Faktorgruppe $\operatorname {GL} (2,K)/K^{\times }$ {\displaystyle \operatorname {GL} (2,K)/K^{\times }}, wobei $K^{\times }$ {\displaystyle K^{\times }} die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen $k\cdot \mathrm {id} _{K^{2}}$ {\displaystyle k\cdot \mathrm {id} _{K^{2}}} der Identität $\mathrm {id} :K^{2}\rightarrow K^{2}$ {\displaystyle \mathrm {id} :K^{2}\rightarrow K^{2}} ist mit $k$ {\displaystyle k} aus $K\setminus \{0\}$ {\displaystyle K\setminus \{0\}}. Die Wirkung von $\operatorname {GL} (2,K)$ {\displaystyle \operatorname {GL} (2,K)} auf $K^{2}$ {\displaystyle K^{2}} induziert eine wohldefinierte Wirkung von $\operatorname {PGL} (2,K)$ {\displaystyle \operatorname {PGL} (2,K)} auf $P^{1}K$ {\displaystyle P^{1}K}. Die Automorphismen von $P^{1}K$ {\displaystyle P^{1}K} sind per Definition die durch Elemente von $\operatorname {PGL} (2,K)$ {\displaystyle \operatorname {PGL} (2,K)} beschriebenen Abbildungen $P^{1}K\to P^{1}K$ {\displaystyle P^{1}K\to P^{1}K}.

In homogenen Koordinaten wirken die Matrizen als gebrochen-lineare Transformationen:

\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}

{\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}}

nach der Identifizierung $\left[x_{0}:x_{1}\right]\simeq z:={\frac {x_{0}}{x_{1}}}\in K\cup \left\{\infty \right\}$ {\displaystyle \left[x_{0}:x_{1}\right]\simeq z:={\frac {x_{0}}{x_{1}}}\in K\cup \left\{\infty \right\}}.

Die Automorphismengruppe wirkt transitiv auf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.

Eine fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis von 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen sich zwei solche 4-Tupel genau dann durch einen Automorphismus ineinander überführen, wenn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.

Im Fall $K=\mathbb {C}$ {\displaystyle K=\mathbb {C} } bezeichnet man die Automorphismen von $P^{1}\mathbb {C}$ {\displaystyle P^{1}\mathbb {C} } als Möbiustransformationen.