Pell-Folge

Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

${\displaystyle P(n)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}n=0;\1,円&{\text{wenn }}n=1;\2円P(n-1)+P(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}${\displaystyle P(n)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}n=0;\1,円&{\text{wenn }}n=1;\2円P(n-1)+P(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}

Das bedeutet in Worten:

• für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
• jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten ${\displaystyle n}${\displaystyle n} Zahlen der Folge lauten (wenn man mit ${\displaystyle n=0}${\displaystyle n=0} zu zählen beginnt):

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, ... (Folge A000129 in OEIS)

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}${\displaystyle U_{n}(P,Q)} mit ${\displaystyle P=2}${\displaystyle P=2} und ${\displaystyle Q=-1}${\displaystyle Q=-1} interpretieren:

${\displaystyle f_{n}=U_{n}(2,-1)}${\displaystyle f_{n}=U_{n}(2,-1)}

Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:

${\displaystyle \delta _{S}:=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}${\displaystyle \delta _{S}:=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}

Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge.

Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen: ${\displaystyle L:=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}}${\displaystyle L:=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}}

Mit ${\displaystyle P(n)=2\cdot P(n-1)+P(n-2)}${\displaystyle P(n)=2\cdot P(n-1)+P(n-2)} folgt:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {2\cdot P(n-1)+P(n-2)}{P(n-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2\cdot P(n-1)}{P(n-1)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-2)}{P(n-1)}}=2+\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-2)}{P(n-1)}}}${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {2\cdot P(n-1)+P(n-2)}{P(n-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2\cdot P(n-1)}{P(n-1)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-2)}{P(n-1)}}=2+\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-2)}{P(n-1)}}}

Mit ${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-1)}{P(n-2)}}}${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-1)}{P(n-2)}}}

folgt weiter: ${\displaystyle L=2+{\tfrac {1}{L}}}${\displaystyle L=2+{\tfrac {1}{L}}}. Damit ergibt sich die quadratische Gleichung ${\displaystyle L^{2}-2L-1=0}${\displaystyle L^{2}-2L-1=0}

mit den beiden Lösungen   ${\displaystyle L_{1}=1+{\sqrt {2}}}${\displaystyle L_{1}=1+{\sqrt {2}}}   und   ${\displaystyle L_{2}=1-{\sqrt {2}}}${\displaystyle L_{2}=1-{\sqrt {2}}}.

Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}

Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}   und   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1-{\sqrt {2}}}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1-{\sqrt {2}}}.

Seien ${\displaystyle c_{1}}${\displaystyle c_{1}} und ${\displaystyle c_{2}}${\displaystyle c_{2}} reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen

${\displaystyle P_{1}(0):=c_{1}\quad P_{1}(n):=c_{1}(1+{\sqrt {2}})^{n}\quad n\in \mathbb {N} }${\displaystyle P_{1}(0):=c_{1}\quad P_{1}(n):=c_{1}(1+{\sqrt {2}})^{n}\quad n\in \mathbb {N} }   und

${\displaystyle P_{2}(0):=c_{2}\quad P_{2}(n):=c_{2}(1-{\sqrt {2}})^{n}\quad n\in \mathbb {N} }${\displaystyle P_{2}(0):=c_{2}\quad P_{2}(n):=c_{2}(1-{\sqrt {2}})^{n}\quad n\in \mathbb {N} }

die Rekursionsformeln

${\displaystyle P_{1}(n)=2P_{1}(n-1)+P_{1}(n-2)}${\displaystyle P_{1}(n)=2P_{1}(n-1)+P_{1}(n-2)}   und  

${\displaystyle P_{2}(n)=2P_{2}(n-1)+P_{2}(n-2)}${\displaystyle P_{2}(n)=2P_{2}(n-1)+P_{2}(n-2)}.

Deren Linearkombination ${\displaystyle P_{l}(n):=c_{1}(1+{\sqrt {2}})^{n}+c_{2}(1-{\sqrt {2}})^{n}}${\displaystyle P_{l}(n):=c_{1}(1+{\sqrt {2}})^{n}+c_{2}(1-{\sqrt {2}})^{n}} erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.

Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten: ${\displaystyle P(0)=0}${\displaystyle P(0)=0}   und    ${\displaystyle P(1)=1}${\displaystyle P(1)=1}.

Eingesetzt in ${\displaystyle P_{l}(n)}${\displaystyle P_{l}(n)} ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

${\displaystyle P_{l}(0)=c_{1}+c_{2}=0}${\displaystyle P_{l}(0)=c_{1}+c_{2}=0}   und  

${\displaystyle P_{l}(1)=c_{1}(1+{\sqrt {2}})+c_{2}(1-{\sqrt {2}})=1}${\displaystyle P_{l}(1)=c_{1}(1+{\sqrt {2}})+c_{2}(1-{\sqrt {2}})=1}

mit den Lösungen ${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}    und   ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}

Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell-Folge:

${\displaystyle P(n)={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}${\displaystyle P(n)={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)\cdot x^{n}={\frac {x}{1-2x-x^{2}}}.}${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)\cdot x^{n}={\frac {x}{1-2x-x^{2}}}.}

Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}.

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}.

Für ${\displaystyle |x|<{\sqrt {2}}-1}${\displaystyle |x|<{\sqrt {2}}-1} gilt daher mit ${\displaystyle P(n+2)-2\cdot P(n+1)-P(n)=0,\ P(0)=0{\text{ und }}P(1)=1}${\displaystyle P(n+2)-2\cdot P(n+1)-P(n)=0,\ P(0)=0{\text{ und }}P(1)=1}:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x&&+P(2)\cdot x^{2}&&+P(3)\cdot x^{3}&&+P(4)\cdot x^{4}+\dotsb \\{-2x}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&-2\cdot P(0)\cdot x&&-2\cdot P(1)\cdot x^{2}&&-2\cdot P(2)\cdot x^{3}&&-2\cdot P(3)\cdot x^{4}-\dotsb \\{-x^{2}}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&&&-P(0)\cdot x^{2}&&-P(1)\cdot x^{3}&&-P(2)\cdot x^{4}-\dotsb \\\hline (1-2x-x^{2})\cdot {\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x-2\cdot P(0)\cdot x\\&=x\end{alignedat}}}${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x&&+P(2)\cdot x^{2}&&+P(3)\cdot x^{3}&&+P(4)\cdot x^{4}+\dotsb \\{-2x}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&-2\cdot P(0)\cdot x&&-2\cdot P(1)\cdot x^{2}&&-2\cdot P(2)\cdot x^{3}&&-2\cdot P(3)\cdot x^{4}-\dotsb \\{-x^{2}}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&&&-P(0)\cdot x^{2}&&-P(1)\cdot x^{3}&&-P(2)\cdot x^{4}-\dotsb \\\hline (1-2x-x^{2})\cdot {\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x-2\cdot P(0)\cdot x\\&=x\end{alignedat}}}

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell-Zahlen ist algebraisch.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)+1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)+1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}

Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell-Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}[16,円\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]}}K\{\lambda ^{*}[16,円\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]\}}${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}[16,円\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]}}K\{\lambda ^{*}[16,円\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]\}}

Hierbei ist λ*(x) die elliptische Lambdafunktion und K(x) ist das vollständige elliptische Integral erster Art.

Analog zur Millin-Reihe über die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe über die Pell-Zahlen formuliert werden:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{z}{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }{\frac {P(2^{z}-1)+P(2^{z}-2)}{P(2^{z})}}=2-{\sqrt {2}}}${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{z}{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }{\frac {P(2^{z}-1)+P(2^{z}-2)}{P(2^{z})}}=2-{\sqrt {2}}}

Eine Pell-Primzahl ist eine Pell-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Pell-Primzahlen lauten:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 4125636888562548868221559797461449, 4760981394323203445293052612223893281, ... (Folge A086383 in OEIS)

Für diese Pell-Primzahlen ist der Index ${\displaystyle n}${\displaystyle n} von ${\displaystyle P(n)}${\displaystyle P(n)} der folgende:

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197, ... (Folge A096650 in OEIS)

Beispiel 1:

Es ist ${\displaystyle P(10)=2378}${\displaystyle P(10)=2378} und ${\displaystyle P(9)=985}${\displaystyle P(9)=985}. Somit ist ${\displaystyle P(11)=2\cdot P(10)+P(9)=2\cdot 2378+985=5741\in \mathbb {P} }${\displaystyle P(11)=2\cdot P(10)+P(9)=2\cdot 2378+985=5741\in \mathbb {P} } eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index ${\displaystyle n=11}${\displaystyle n=11} in obiger Liste an der 4. Stelle auf, weil er zur viertkleinsten Pell-Primzahl ${\displaystyle P_{11}=5741}${\displaystyle P_{11}=5741} führt.

Es gelten folgende Eigenschaften für Pell-Primzahlen:

• Wenn ${\displaystyle P(n)}${\displaystyle P(n)} eine Pell-Primzahl ist, dann ist der Index ${\displaystyle n}${\displaystyle n} ebenfalls eine Primzahl (die Umkehrung stimmt nicht, das heißt, dass nicht jeder Primzahl-Index zu einer Pell-Primzahl führt).^[1]

Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

${\displaystyle Q(n)={\begin{cases}2,&{\text{wenn }}n=0;\2,円&{\text{wenn }}n=1;\2円Q(n-1)+Q(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}${\displaystyle Q(n)={\begin{cases}2,&{\text{wenn }}n=0;\2,円&{\text{wenn }}n=1;\2円Q(n-1)+Q(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}

Das bedeutet in Worten:

• für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
• jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, ... (Folge A002203 in OEIS)

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}${\displaystyle V_{n}(P,Q)} mit ${\displaystyle P=2}${\displaystyle P=2} und ${\displaystyle Q=-1}${\displaystyle Q=-1} interpretieren:

${\displaystyle Q(n)=V_{n}(2,-1)}${\displaystyle Q(n)=V_{n}(2,-1)}

• Eric W. Weisstein: Pell Number. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Integer Sequence Primes. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Comments zu OEIS A096650

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