Pascalsches Simplex

Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.^[1]

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension ${\displaystyle d}${\displaystyle d} (${\displaystyle d\geq 1}${\displaystyle d\geq 1} natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}}${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}} zuordnen (${\displaystyle n,k_{1},\ldots ,k_{d-1}}${\displaystyle n,k_{1},\ldots ,k_{d-1}} sind die jeweiligen Koordinaten, ${\displaystyle k_{d}}${\displaystyle k_{d}} ergibt sich durch ${\displaystyle n-k_{1}-\ldots -k_{d-1}}${\displaystyle n-k_{1}-\ldots -k_{d-1}}). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein ${\displaystyle d}${\displaystyle d}-dimensionales, in ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Richtung unbeschränktes „Simplex" (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

• Die ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes ${\displaystyle n}${\displaystyle n}) für ${\displaystyle n>0}${\displaystyle n>0} lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für ${\displaystyle n-1}${\displaystyle n-1}) berechnen: ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}={\binom {n-1}{k_{1}-1,\ldots ,k_{d}}}+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2}-1,\ldots ,k_{d}}}+\ldots +{\binom {n-1}{k_{1},\ldots ,k_{d}-1}}}${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\ldots ,k_{d}}}={\binom {n-1}{k_{1}-1,\ldots ,k_{d}}}+{\binom {n-1}{k_{1},k_{2}-1,\ldots ,k_{d}}}+\ldots +{\binom {n-1}{k_{1},\ldots ,k_{d}-1}}}. Auf der Ebene ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0} ist der einzige Eintrag eine ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1}, aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
• Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt ${\displaystyle d^{n-1}}${\displaystyle d^{n-1}}.
• Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch ${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1},0}}={\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1}}}}${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1},0}}={\binom {n}{k_{1},...,k_{d-1}}}} ausdrücken.

1. ↑ Peter Hilton, Derek Holton, Jean Pedersen: Mathematical Vistas. From a Room with Many Windows. Springer, New York u. a. 2002. ISBN 978-0-387-95064-8. S. 188–190.

• Diskrete Mathematik
• Blaise Pascal als Namensgeber