P-triviale σ-Algebra

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jeder Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedem Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet wird. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}. Eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}}${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}} heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle ${\displaystyle O\in {\mathcal {O}}}${\displaystyle O\in {\mathcal {O}}} gilt, dass entweder ${\displaystyle P(O)=0}${\displaystyle P(O)=0} oder ${\displaystyle P(O)=1}${\displaystyle P(O)=1} ist.

• Die triviale σ-Algebra ${\displaystyle \{\Omega ,\emptyset \}}${\displaystyle \{\Omega ,\emptyset \}} ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer ${\displaystyle P(\Omega )=1}${\displaystyle P(\Omega )=1} und ${\displaystyle P(\emptyset )=0}${\displaystyle P(\emptyset )=0} gefordert wird.
• Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{1},P_{2}}${\displaystyle P_{1},P_{2}} gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge. Es gilt also ${\displaystyle \Omega =N_{1}\cup N_{2}}${\displaystyle \Omega =N_{1}\cup N_{2}} und ${\displaystyle N_{1}\cap N_{2}=\emptyset }${\displaystyle N_{1}\cap N_{2}=\emptyset }, so dass ${\displaystyle P_{1}(N_{1})=0}${\displaystyle P_{1}(N_{1})=0} und ${\displaystyle P_{2}(N_{2})=0}${\displaystyle P_{2}(N_{2})=0}. Dann ist die σ-Algebra ${\displaystyle \{\Omega ,\emptyset ,N_{1},N_{2}\}}${\displaystyle \{\Omega ,\emptyset ,N_{1},N_{2}\}} sowohl ${\displaystyle P_{1}}${\displaystyle P_{1}}-trivial als auch ${\displaystyle P_{2}}${\displaystyle P_{2}}-trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich ${\displaystyle P_{1}(N_{2})=1}${\displaystyle P_{1}(N_{2})=1} und ${\displaystyle P_{2}(N_{1})=1}${\displaystyle P_{2}(N_{1})=1}, die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.

Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:

• Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist.
• Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} ist eine P-triviale σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}}${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}} von jedem anderen Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {A}}}${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {A}}} unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.

Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist: Wenn ${\displaystyle {\mathcal {O}}}${\displaystyle {\mathcal {O}}} P-trivial ist, dann gilt für den bedingten Erwartungswert ${\displaystyle \operatorname {E} (X|{\mathcal {O}})=\operatorname {E} (X)}${\displaystyle \operatorname {E} (X|{\mathcal {O}})=\operatorname {E} (X)}, denn ${\displaystyle \sigma (X)}${\displaystyle \sigma (X)} und ${\displaystyle {\mathcal {O}}}${\displaystyle {\mathcal {O}}} sind voneinander unabhängig. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem L^p-Ergodensatz.

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3 . 

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