Orbifaltigkeit

In der Topologie ist eine Orbifaltigkeit (englisch: Orbifold) eine Verallgemeinerung einer Mannigfaltigkeit.

Wie auch eine Mannigfaltigkeit wird eine Orbifaltigkeit durch lokale Eigenschaften beschrieben. Anders als eine Mannigfaltigkeit, die lokal eine offene Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} darstellt, wird eine Orbifaltigkeit lokal durch Quotienten von offenen Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nach endlichen Gruppenoperationen beschrieben.

Eine ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Orbifaltigkeit ist ein topologischer Hausdorff-Raum ${\displaystyle X}${\displaystyle X}, den man den unterliegenden Raum nennt, mit einer Überdeckung durch offene Teilmengen ${\displaystyle U_{i}}${\displaystyle U_{i}}, die abgeschlossen ist unter endlichen Schnitten. Für jedes ${\displaystyle U_{i}}${\displaystyle U_{i}} gibt es:

• eine offene Teilmenge ${\displaystyle V_{i}}${\displaystyle V_{i}} des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, welche invariant unter einer treuen endlichen Gruppenoperation ${\displaystyle \Gamma _{i}}${\displaystyle \Gamma _{i}} ist;
• eine stetige Abbildung ${\displaystyle \phi _{i}}${\displaystyle \phi _{i}} von ${\displaystyle V_{i}}${\displaystyle V_{i}} nach ${\displaystyle U_{i}}${\displaystyle U_{i}}, die invariant unter ${\displaystyle \Gamma _{i}}${\displaystyle \Gamma _{i}} ist, auch Karte der Orbifaltigkeit genannt.

Eine Menge von Karten nennt man einen Atlas der Orbifaltigkeit, wenn folgendes gegeben ist:

• Für jede Inklusion ${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}}${\displaystyle U_{i}\subset U_{j}} gibt es einen injektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle f_{ij}\colon \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}}${\displaystyle f_{ij}\colon \Gamma _{i}\rightarrow \Gamma _{j}} und einen ${\displaystyle f_{ij}}${\displaystyle f_{ij}}-äquivarianten Homöomorphismus ${\displaystyle \psi _{ij}}${\displaystyle \psi _{ij}} von ${\displaystyle V_{i}}${\displaystyle V_{i}} auf eine offene Teilmenge von ${\displaystyle V_{j}}${\displaystyle V_{j}} (auch als Verklebeabbildung bezeichnet), der mit den Karten kompatibel ist, d. h.:

${\displaystyle \phi _{j}\psi _{ij}=\phi _{i}}${\displaystyle \phi _{j}\psi _{ij}=\phi _{i}}.

Die Verklebeabbildung soll bis auf Translation eindeutig sein, d. h., zu zwei Verklebeabbildungen ${\displaystyle \psi _{ij},\psi _{ij}^{\prime }}${\displaystyle \psi _{ij},\psi _{ij}^{\prime }} soll es ein ${\displaystyle g\in \Gamma _{j}}${\displaystyle g\in \Gamma _{j}} mit ${\displaystyle \psi _{ij}^{\prime }=g\psi _{ij}}${\displaystyle \psi _{ij}^{\prime }=g\psi _{ij}} geben.

• Ein einfaches Beispiel ist eine Identifizierungstopologie für eine Gruppenwirkung mit Fixpunkten. Es sei die reelle Zahlengerade ${\displaystyle \mathbb {R} }${\displaystyle \mathbb {R} } durch die Koordinate ${\displaystyle x}${\displaystyle x} parametrisiert. Nun entsteht durch die Identifizierung ${\displaystyle x\sim -x}${\displaystyle x\sim -x} ein Fixpunkt in ${\displaystyle x=0}${\displaystyle x=0}. Der durch Identifizierung entstehende Quotientenraum ist das einfachste Beispiel einer Orbifaltigkeit.
• Orbifaltigkeiten, die durch Quotientenbildung aus der Wirkung einer endlichen Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit entstehen, heißen gute Orbifaltigkeiten.

Wenn die (10 + 1)-dimensionale heterotische Stringtheorie mit einer unterliegenden Mannigfaltigkeit kompaktifiziert wird, ist man meistens daran interessiert, wann man für ${\displaystyle N=1}${\displaystyle N=1} eine supersymmetrische Theorie in vier Dimensionen erhält. Sind einige Annahmen gegeben, ergibt sich, dass diese unterliegenden Mannigfaltigkeiten Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sein müssen. Weil die explizite Metrik für fast alle Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten nicht bekannt ist, versucht man Orbifaltigkeiten zu konstruieren, die ein Limes der jeweiligen Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten sind, wobei hier die Metrik explizit bekannt ist.

• William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds (Chapter 13), Princeton University lecture notes 1980. PDF
• Barton Zwiebach: A First Course in String Theory, Cambridge University Press 2004, ISBN 0521831431
• Katrin Becker, Melanie Becker und John H. Schwarz: String Theory and M-Theory, A modern introduction, Cambridge University Press 2006, ISBN 0521860695
• Suhyoung Choi: Geometric structures on orbifolds and holonomy representations. Geom. Dedicata 104 (2004), 161–199.

• Differentialtopologie
• Geometrische Topologie