Newtonsche Abbildungsgleichung

Die newtonsche Abbildungsgleichung ist eine nach dem englischen Physiker Isaac Newton benannte Formel der Strahlenoptik.

Sie lautet ${\displaystyle f^{2}=z\cdot z'}${\displaystyle f^{2}=z\cdot z'} und wird vielfach anstelle der Linsengleichung ${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}}${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}} verwendet. Hierbei steht z bzw. z’ für die Differenz aus Gegenstandsweite bzw. Bildweite und Brennweite.

Betrachtet man den untersten vom Gegenstand G ausgehenden Strahl in der Abbildung, und den obersten zum Bild einfallenden Strahl (also die Strahlen durch die beiden Brennpunkte), so folgt aus dem Strahlensatz

${\displaystyle {\frac {G}{B}}={\frac {z}{f}}={\frac {f}{z'}}}${\displaystyle {\frac {G}{B}}={\frac {z}{f}}={\frac {f}{z'}}}

Hierbei sind ${\displaystyle G}${\displaystyle G} und ${\displaystyle B}${\displaystyle B} die Höhe des Gegenstandes bzw. Bildes. Die newtonsche Abbildungsgleichung ergibt sich unmittelbar aus dem rechten Gleichheitszeichen durch Erweitern mit ${\displaystyle fz'}${\displaystyle fz'}.

Die newtonsche Abbildungsgleichung ist äquivalent zur Linsengleichung:

${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}}${\displaystyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}}

Es ergibt sich nach einfachen arithmetischen Umformungen:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {g\cdot b}{g+b}}\\f(g+b)&=g\cdot b\\f\cdot g+f\cdot b&=g\cdot b\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {g\cdot b}{g+b}}\\f(g+b)&=g\cdot b\\f\cdot g+f\cdot b&=g\cdot b\end{aligned}}}

Nach Addition von ${\displaystyle f^{2}-f\cdot g-f\cdot b}${\displaystyle f^{2}-f\cdot g-f\cdot b} auf beiden Seiten erhält man

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{2}&=g\cdot b-g\cdot f-b\cdot f+f^{2}\\&=(g-f)(b-f)\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}f^{2}&=g\cdot b-g\cdot f-b\cdot f+f^{2}\\&=(g-f)(b-f)\end{aligned}}}

was wegen

${\displaystyle \ z=g-f}${\displaystyle \ z=g-f} und ${\displaystyle \ z'=b-f}${\displaystyle \ z'=b-f}

zum gewünschten Resultat führt.

• Lexikon der Physik: Abbildungsgleichungen. Abgerufen am 17. Juni 2014. 

• Linsengleichung

• Paraxiale Optik
• Isaac Newton als Namensgeber