NOON-Zustand

Ein NOON-Zustand (Kunstwort entsprechend der Formel, s. u.) ist ein verschränkter quantenmechanischer Vielteilchen zustand. Die Bezeichnung ist insbesondere in der Quantenoptik gebräuchlich. Hier bezeichnet ein NOON-Zustand einen Überlagerungszustand von ${\displaystyle N}${\displaystyle N} Photonen, die sich entweder alle in dem einen oder dem anderen von zwei voneinander unterscheidbaren Einteilchenzuständen befinden. Photonen, die in einem solchen Zustand präpariert werden, erlauben (für große Teilchenzahl ${\displaystyle N}${\displaystyle N}) sehr präzise Phasenmessungen und wurden daher für Anwendungen in der Quanten-Metrologie und hochaufgelösten Lithographie vorgeschlagen.

Mathematisch sind NOON-Zustände ${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle }${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle } als Vektoren im Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} ^{2})={\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )\otimes {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} ^{2})={\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )\otimes {\mathcal {F}}_{+}(\mathbb {C} )}, dem symmetrischen (bosonischen) Fockraum über zwei Moden, gegeben:

${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}\otimes |0\rangle _{b}+e^{iN\theta }|{0}\rangle _{a}\otimes |{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}}}${\displaystyle |\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}\otimes |0\rangle _{b}+e^{iN\theta }|{0}\rangle _{a}\otimes |{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}}}

Dieser Zustand beschreibt die Überlagerung von ${\displaystyle N}${\displaystyle N} Teilchen in der Mode ${\displaystyle a}${\displaystyle a} und keinem Teilchen in Mode ${\displaystyle b}${\displaystyle b} und umgekehrt (mit relativer Phase ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta }).

In der Praxis werden meist photonische NOON-Zustände betrachtet, aber allgemein kann jedes bosonische Feld in einem NOON-Zustand präpariert werden.

NOON-Zustände wurden im Zusammenhang mit Anwendungen der Quanten-Metrologie untersucht, da sie es erlauben, mit optischen Interferometern sehr genaue Phasenmessungen durchzuführen. Zum Beispiel gilt für die Observable

${\displaystyle A=|N,0\rangle \langle 0,N|+|0,N\rangle \langle N,0|}${\displaystyle A=|N,0\rangle \langle 0,N|+|0,N\rangle \langle N,0|}

dass ihr Erwartungswert ${\displaystyle \langle A\rangle }${\displaystyle \langle A\rangle } für ein System im NOON-Zustand sich von ${\displaystyle +1}${\displaystyle +1} zu ${\displaystyle -1}${\displaystyle -1} verändert, wenn die Phase ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } des Zustands von 0 auf ${\displaystyle \pi /N}${\displaystyle \pi /N} anwächst. D. h. für große ${\displaystyle N}${\displaystyle N} führt schon eine sehr kleine Phase zu einer großen Änderung der Observablen.

Für die Ungenauigkeit (Standardabweichung) der Messung von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} gilt:

${\displaystyle \Delta \theta ={\frac {\Delta A}{|d\langle A\rangle /d\theta |}}={\frac {1}{N}}.}${\displaystyle \Delta \theta ={\frac {\Delta A}{|d\langle A\rangle /d\theta |}}={\frac {1}{N}}.}

Diese Skalierung mit der Teilchenzahl ist das beste mit quantenmechanischen Messungen erreichbare Verhalten und wird auch als Heisenberg-Limit bezeichnet. Es stellt eine quadratische Verbesserung gegenüber den standard quantum limit (${\displaystyle \propto {\sqrt {N}}}${\displaystyle \propto {\sqrt {N}}}) dar, das die beste mit ${\displaystyle N}${\displaystyle N} unabhängigen (nicht verschränkten) Teilchen erreichbare Messung beschreibt.

NOON-Zustände sind eng verwandt mit Schrödinger-Katzen-Zuständen und Greenberger-Horne-Zeilinger Zuständen. Wie diese sind auch die NOON-Zustände sehr fragil: auch kleine unkontrollierte Wechselwirkungen zerstören die Kohärenz der Überlagerung und führen zu einem Verlust der vorteilhaften Eigenschaften des Zustands (Dekohärenz). Dies stellt den praktischen Nutzen von NOON-Zuständen für metrologische Zwecke in vielen realistischen Situationen in Frage.^[1]

NOON-Zustände wurden für kleine Teilchenzahlen in verschiedenen Experimenten erzeugt, z. B. für ${\displaystyle N=5}${\displaystyle N=5} mit optischen Photonen^[2] und für ${\displaystyle N=2}${\displaystyle N=2} mit Mikrowellen-Photonen^[3] .

NOON-Zustände wurden von Barry Sanders im Zusammenhang mit der Untersuchung der Dekohärenz von Schrödinger-Katzen-Zuständen eingeführt^[4] und später von Jonathan P. Dowling wiederentdeckt, der sie als Grundlage der Quanten-Lithographie vorschlug.^[5] Der englische Ausdruck „NOON state" wurde erstmals in einem Artikel von Lee, Kok und Dowling über Quanten-Metrologie^[6] verwendet (geschrieben als „N00N", mit Nullen statt Os).

1. ↑ B. M. Escher, R. L. de Matos Filho, L. Davidovich: General framework for estimating the ultimate precision limit in noisy quantum-enhanced metrology. In: Nature Physics. Band 7, Nr. 5, Mai 2011, S. 406–411, doi:10.1038/nphys1958 . 
2. ↑ Itai Afek, Oron Ambar, Yaron Silberberg: High-NOON States by Mixing Quantum and Classical Light. In: Science. Band 328, Nr. 5980, 14. Mai 2010, S. 879–881, doi:10.1126/science.1188172 , PMID 20466927. 
3. ↑ C. Lang u. a.: Correlations, indistinguishability and entanglement in Hong-Ou-Mandel experiments at microwave frequencies. In: Nature Physics. Band 9, Nr. 6, Juni 2013, S. 345–348, doi:10.1038/nphys2612 . 
4. ↑ Barry C. Sanders: Quantum dynamics of the nonlinear rotator and the effects of continual spin measurement. In: Physical Review A. Band 40, Nr. 5, 1. September 1989, S. 2417–2427, doi:10.1103/PhysRevA.40.2417 . 
5. ↑ Agedi N. Boto, Pieter Kok, Daniel S. Abrams, Samuel L. Braunstein, Colin P. Williams, Jonathan P. Dowling: Quantum Interferometric Optical Lithography: Exploiting Entanglement to Beat the Diffraction Limit. In: Physical Review Letters. Band 85, Nr. 13, 25. September 2000, S. 2733–2736, doi:10.1103/PhysRevLett.85.2733 . 
6. ↑ Hwang Lee, Pieter Kok, Jonathan P. Dowling: A quantum Rosetta stone for interferometry. In: Journal of Modern Optics. Band 49, Nr. 14–15, 2002, S. 2325–2338, doi:10.1080/0950034021000011536 . 

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