Multivektor

In der Mathematik ist ein Multivektor eine formale Summe von Ausdrücken der Form ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{n}}${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{n}} mit Vektoren ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}} und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }${\displaystyle n\in \mathbb {N} }. In Physik und Elektrotechnik ist das Rechnen mit Multivektoren oft nützlich.

Mathematisch handelt es sich bei Multivektoren um Elemente der äußeren Algebra ${\displaystyle \Lambda ^{*}V}${\displaystyle \Lambda ^{*}V} eines Vektorraumes ${\displaystyle V}${\displaystyle V}. Diese Algebra ist graduiert und ein ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Vektor ist ein Element von ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}${\displaystyle \Lambda ^{k}V}, also eine Summe von Produkten aus ${\displaystyle k}${\displaystyle k} Vektoren ${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{k}}${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \ldots \wedge v_{k}}.

Man spricht von Skalaren, Vektoren, Bivektoren und Trivektoren, wenn es sich um ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Vektoren mit ${\displaystyle k=0,1,2}${\displaystyle k=0,1,2} und ${\displaystyle 3}${\displaystyle 3} handelt.

Das für die Konstruktion von Multivektoren verwendete äußere Produkt ist multilinear (linear in jedem Argument), assoziativ und alternierend. Das heißt, dass für Vektoren ${\displaystyle u,v,w}${\displaystyle u,v,w} in einem Vektorraum ${\displaystyle V}${\displaystyle V} und für Skalare ${\displaystyle \alpha ,\beta }${\displaystyle \alpha ,\beta } gilt

• ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;}
• ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );}
• ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.}

Wenn ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{d}}${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{d}} eine Basis von ${\displaystyle V}${\displaystyle V} bilden, dann bilden die ${\displaystyle \left({\begin{array}{c}d\\k\end{array}}\right)}${\displaystyle \left({\begin{array}{c}d\\k\end{array}}\right)} äußeren Produkte von je ${\displaystyle k}${\displaystyle k} Basisvektoren eine Basis von ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}${\displaystyle \Lambda ^{k}V}.

Sei ${\displaystyle e_{1},e_{2}}${\displaystyle e_{1},e_{2}} eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, dann kann man Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} zerlegen als

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},}

und der Bivektor ${\displaystyle u\wedge v}${\displaystyle u\wedge v} berechnet sich als

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also der Flächeninhalt des von den Vektoren ${\displaystyle u}${\displaystyle u} und ${\displaystyle v}${\displaystyle v} aufgespannten Parallelogramms.

Der Bivektor ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}}${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}} ist eine Basis von ${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \Lambda ^{2}\mathbb {R} ^{2}}.

Sei ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}} eine Basis von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, dann kann man Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} zerlegen als

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}

und der Bivektor ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} } berechnet sich als

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}v_{1}&u_{1}\\v_{3}&u_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+{\begin{vmatrix}v_{1}&u_{1}\\v_{3}&u_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).}

Mithilfe des Vektorraumisomorphismus ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{3})}${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \Lambda ^{2}(\mathbb {R} ^{3})} definiert durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}\mapsto \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\\\mathbf {e} _{2}\mapsto \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{3}\mapsto \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}\mapsto \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\\\mathbf {e} _{2}\mapsto \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{3}\mapsto \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\\end{aligned}}}

sieht man, dass die Komponenten des Bivektors ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} } übereinstimmen mit denen des Kreuzprodukts ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }, d. h. es gilt ${\displaystyle \varphi (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }${\displaystyle \varphi (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }.

Der Trivektor ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}} ist eine Basis von ${\displaystyle \Lambda ^{3}\mathbb {R} ^{3}}${\displaystyle \Lambda ^{3}\mathbb {R} ^{3}}. Man berechnet

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}).}${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}).}

Der Koeffizient ist die Determinante der Matrix, also das Volumen des von den Vektoren ${\displaystyle u,v}${\displaystyle u,v} und ${\displaystyle w}${\displaystyle w} aufgespannten Parallelepipeds.

In der Differentialgeometrie bezeichnet man als ${\displaystyle k}${\displaystyle k}-Vektor ein Element aus ${\displaystyle \Lambda ^{k}T_{x}M}${\displaystyle \Lambda ^{k}T_{x}M}, wobei ${\displaystyle T_{x}M}${\displaystyle T_{x}M} der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}${\displaystyle M} in einem Punkt ${\displaystyle x\in M}${\displaystyle x\in M} ist.

Ein Multivektorfeld ist ein Schnitt des ${\displaystyle \Lambda ^{k}TM}${\displaystyle \Lambda ^{k}TM} des Tangentialbündels ${\displaystyle TM}${\displaystyle TM}.^[1]

1. ↑ Chiara Esposito: Formality Theory From Poisson Structures to Deformation Quantization. In: Springer Verlag (Hrsg.): Springer Briefs in Mathematical Physics Band 2. 2014, S. 12. 

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