Moufang-Identitäten

Eine zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }${\displaystyle \cdot } auf einer Menge ${\displaystyle X}${\displaystyle X} erfüllt die Moufang-Identitäten (benannt nach der deutschen Mathematikerin Ruth Moufang), wenn für alle ${\displaystyle a,b,c\in X}${\displaystyle a,b,c\in X} die Gleichungen

(M1) ${\displaystyle {\Big (}a\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}b\cdot (a\cdot c){\Big )}}${\displaystyle {\Big (}a\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}b\cdot (a\cdot c){\Big )}}

und

(M2) ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)=a\cdot {\Big (}(b\cdot c)\cdot a{\Big )}}${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)=a\cdot {\Big (}(b\cdot c)\cdot a{\Big )}}

gelten.

Dual dazu werden auch folgende Gleichungen als Moufang-Identitäten bezeichnet:

(M1') ${\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (c\cdot b){\Big )}}${\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (c\cdot b){\Big )}}

und

(M2') ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)={\Big (}a\cdot (b\cdot c){\Big )}\cdot a}${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (c\cdot a)={\Big (}a\cdot (b\cdot c){\Big )}\cdot a}

In einer Quasigruppe ${\displaystyle (M,\cdot )}${\displaystyle (M,\cdot )} impliziert eine dieser vier Gleichungen jeweils die drei anderen. Außerdem sichert jede dieser Gleichung die Existenz eines neutralen Elements zu. Eine Quasigruppe, in der also (mindestens) eine der Moufang-Identitäten erfüllt ist, ist demnach eine Loop, die dann auch Moufang-Loop genannt wird.

Bei den Moufang-Identitäten handelt es sich um eine abgeschwächte Form des Assoziativgesetzes. Außer für assoziative Verknüpfungen gelten die Moufang-Identitäten auch für Alternativkörper wie zum Beispiel die Oktonionen.

Gelten in einem Magma ${\displaystyle (M,\cdot )}${\displaystyle (M,\cdot )} mit einem neutralen Element ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1} die Moufang-Identitäten (M1) und (M2), dann gilt für die Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }${\displaystyle \cdot }

• die Linksalternativität (wegen (M1) mit ${\displaystyle b=1}${\displaystyle b=1}):

${\displaystyle (a\cdot a)\cdot c={\Big (}a\cdot (1\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}1\cdot (a\cdot c){\Big )}=a\cdot (a\cdot c)}${\displaystyle (a\cdot a)\cdot c={\Big (}a\cdot (1\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}1\cdot (a\cdot c){\Big )}=a\cdot (a\cdot c)}

• das Flexibilitätsgesetz (wegen (M2) mit ${\displaystyle c=1}${\displaystyle c=1}):

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot a=(a\cdot b)\cdot (1\cdot a)=a\cdot {\Big (}(b\cdot 1)\cdot a{\Big )}=a\cdot (b\cdot a)}${\displaystyle (a\cdot b)\cdot a=(a\cdot b)\cdot (1\cdot a)=a\cdot {\Big (}(b\cdot 1)\cdot a{\Big )}=a\cdot (b\cdot a)}

Gelten in ${\displaystyle (M,\cdot )}${\displaystyle (M,\cdot )} mit einem neutralen Element ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1} jedoch die Moufang-Identitäten (M1') und (M2'), dann gilt für die Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }${\displaystyle \cdot }

• die Rechtsalternativität (wegen (M1') mit ${\displaystyle c=1}${\displaystyle c=1}):

${\displaystyle (a\cdot b)\cdot b={\Big (}(a\cdot b)\cdot 1{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (1\cdot b){\Big )}=a\cdot (b\cdot b)}${\displaystyle (a\cdot b)\cdot b={\Big (}(a\cdot b)\cdot 1{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (1\cdot b){\Big )}=a\cdot (b\cdot b)}

• das Flexibilitätsgesetz (wegen (M2') mit ${\displaystyle b=1}${\displaystyle b=1}):

${\displaystyle a\cdot (a\cdot b)=(a\cdot 1)\cdot (c\cdot a)={\Big (}a\cdot (1\cdot c){\Big )}\cdot a=(a\cdot b)\cdot a}${\displaystyle a\cdot (a\cdot b)=(a\cdot 1)\cdot (c\cdot a)={\Big (}a\cdot (1\cdot c){\Big )}\cdot a=(a\cdot b)\cdot a}

In einem flexiblen Magma ${\displaystyle (M,\cdot )}${\displaystyle (M,\cdot )}, in dem für die Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }${\displaystyle \cdot } also das Flexibilitätsgesetz gilt, folgt M2' direkt aus M2 (und umgekehrt), und es gelten folgende zusätzliche Identitäten

(M3, folgt aus M1) ${\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot a{\Big )}\cdot c={\Big (}a\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}b\cdot (a\cdot c){\Big )}}${\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot a{\Big )}\cdot c={\Big (}a\cdot (b\cdot a){\Big )}\cdot c=a\cdot {\Big (}b\cdot (a\cdot c){\Big )}}

(M3', folgt aus M1') ${\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (c\cdot b){\Big )}=a\cdot {\Big (}(b\cdot c)\cdot b{\Big )}}${\displaystyle {\Big (}(a\cdot b)\cdot c{\Big )}\cdot b=a\cdot {\Big (}b\cdot (c\cdot b){\Big )}=a\cdot {\Big (}(b\cdot c)\cdot b{\Big )}}

• John Horton Conway, Derek Smith: On Quaternions and Octonions Hardcover, 2003, ISBN 1568811349, insbesondere S. 88
• Kenneth Kunen: Moufang quasigroups, Journal of Algebra, Vol. 183, Issue 1, 1996, Seiten 231–234
• Ruth Moufang: Zur Struktur von Alternativkörpern, Math. Ann., Vol. 110, 1935, Seiten 416–430

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