Monogenes Signal

Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

Es sei d eine natürliche Zahl und ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})} eine Funktion. Dann ist das monogene Signal ${\displaystyle f_{M}}${\displaystyle f_{M}} definiert durch

${\displaystyle f_{M}:=(f,R_{1}f,\ldots ,R_{d}f),}${\displaystyle f_{M}:=(f,R_{1}f,\ldots ,R_{d}f),}

wobei ${\displaystyle R_{j},j=1,\ldots ,d}${\displaystyle R_{j},j=1,\ldots ,d} die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, ${\displaystyle j=1,\ldots ,d,}${\displaystyle j=1,\ldots ,d,} der Riesz-Transformation ${\displaystyle R_{j}}${\displaystyle R_{j}} ist definiert durch

${\displaystyle R_{j}f(x):=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{0<\epsilon \leq \left|y\right|}{\frac {y_{j}}{\left|y\right|^{d+1}}}f(x-y),円\mathrm {d} y}${\displaystyle R_{j}f(x):=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{0<\epsilon \leq \left|y\right|}{\frac {y_{j}}{\left|y\right|^{d+1}}}f(x-y),円\mathrm {d} y}

mit

${\displaystyle c_{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {d+1}{2}}\right)}{\pi ^{(d+1)/2}}},}${\displaystyle c_{d}={\frac {\Gamma \left({\frac {d+1}{2}}\right)}{\pi ^{(d+1)/2}}},}

wobei ${\displaystyle \Gamma }${\displaystyle \Gamma } die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten ${\displaystyle R_{j}}${\displaystyle R_{j}}

${\displaystyle Rf(x):=(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x)).}${\displaystyle Rf(x):=(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x)).}

Für ${\displaystyle d=1}${\displaystyle d=1} ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation ${\displaystyle {\mathcal {H}}}${\displaystyle {\mathcal {H}}} und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

${\displaystyle \left(f(x),R_{1}f(x)\right)=f(x)+iR_{1}f(x)=f(x)+i{\mathcal {H}}f(x)}${\displaystyle \left(f(x),R_{1}f(x)\right)=f(x)+iR_{1}f(x)=f(x)+i{\mathcal {H}}f(x)}

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude ${\displaystyle A}${\displaystyle A} ist in diesem Falle definiert durch

${\displaystyle A(x)={\sqrt {f^{2}(x)+(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},}${\displaystyle A(x)={\sqrt {f^{2}(x)+(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},}

der lokale Phasenwinkel ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } durch

${\displaystyle \alpha (x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|,}${\displaystyle \alpha (x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|,}

die lokale Phasenrichtung ${\displaystyle u}${\displaystyle u} durch

${\displaystyle u(x)={\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}}${\displaystyle u(x)={\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}}

und die lokale Phase ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi } durch

${\displaystyle \phi (x)=\alpha (x)u(x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|{\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}.}${\displaystyle \phi (x)=\alpha (x)u(x)=\left|\operatorname {atan2} ({\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}},f)\right|{\frac {(R_{1}f(x),\ldots ,R_{d}f(x))}{\sqrt {(R_{1}f(x))^{2}+\ldots +(R_{d}f(x))^{2}}}}.}

Beispiel

Fasst man die Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f} als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

• Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
• Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

• M. Felsberg, G. Sommer: The monogenic signal. In: IEEE Transactions on Signal Processing. Band 49, Nr. 12, 2001, S. 3136–3144. 
• S. Held, M. Storath, P. Massopust, B. Forster: Steerable Wavelet Frames Based on the Riesz Transform. In: IEEE Transactions on Image Processing. Band 19, Nr. 3, 2010, S. 653–667. 

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis

• Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München
• MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images EPF Lausanne

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