Modulare Funktion (harmonische Analyse)

Die modulare Funktion ist ein Begriff aus der harmonischen Analyse, das heißt aus der Theorie der lokalkompakten Gruppen. Die modulare Funktion misst eine Links-rechts-Asymmetrie der Gruppe.

Es sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es bekanntlich ein linksinvariantes Haarsches Maß ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } auf ${\displaystyle G}${\displaystyle G}. Linksinvarianz bedeutet dabei, dass ${\displaystyle \mu (tA)=\mu (A)}${\displaystyle \mu (tA)=\mu (A)} für alle ${\displaystyle t\in G}${\displaystyle t\in G} und alle Borelmengen ${\displaystyle A\subset G}${\displaystyle A\subset G}. Daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } auch rechtsinvariant ist, das heißt, es kann durchaus ${\displaystyle \mu (At)\not =\mu (A)}${\displaystyle \mu (At)\not =\mu (A)} gelten.

Für festes ${\displaystyle t\in G}${\displaystyle t\in G} ist die Abbildung ${\displaystyle \mu _{t}\colon A\mapsto \mu (At)}${\displaystyle \mu _{t}\colon A\mapsto \mu (At)} ebenfalls ein linksinvariantes Haarsches Maß, wie man leicht bestätigen kann. Da ein solches bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, gibt es eine Zahl ${\displaystyle \Delta _{G}(t)\in \mathbb {R} ^{+}}${\displaystyle \Delta _{G}(t)\in \mathbb {R} ^{+}} mit ${\displaystyle \mu _{t},円=,円\Delta _{G}(t)\mu }${\displaystyle \mu _{t},円=,円\Delta _{G}(t)\mu }, das heißt ${\displaystyle \mu (At),円=,円\Delta _{G}(t)\mu (A)}${\displaystyle \mu (At),円=,円\Delta _{G}(t)\mu (A)} für alle messbaren ${\displaystyle A\subset G}${\displaystyle A\subset G}.

Auf diese Weise erhält man eine Abbildung ${\displaystyle \Delta _{G}\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}${\displaystyle \Delta _{G}\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}, die sich als unabhängig von der Wahl des linksinvarianten Haarschen Maßes ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } erweist und ein stetiger Homomorphismus von ${\displaystyle G}${\displaystyle G} in die multiplikative Gruppe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} ist.^[1] ${\displaystyle \Delta _{G}}${\displaystyle \Delta _{G}} heißt die modulare Funktion von ${\displaystyle G}${\displaystyle G}

Gruppen, für die die modulare Funktion gleich der konstanten Funktion ${\displaystyle \Delta _{G}(t)=1}${\displaystyle \Delta _{G}(t)=1} für alle ${\displaystyle t\in G}${\displaystyle t\in G} ist, nennt man unimodular. Das sind genau diejenigen Gruppen, für die ein linksinvariantes Haarsches Maß auch rechtsinvariant ist. Drei wichtige Typen lokalkompakter Gruppen sind automatisch unimodular:

• Kommutative lokalkompakte Gruppen sind unimodular, denn wegen der Kommutativität sind linksinvariante Maße natürlich auch rechtsinvariant.
• Kompakte Gruppen sind unimodular, denn das Bild der modularen Funktion muss eine kompakte Untergruppe in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} sein, und da kommt nur ${\displaystyle \{1\}}${\displaystyle \{1\}} in Frage.
• Diskrete Gruppen sind unimodular, denn die Vielfachen des Zählmaßes sind genau die links- und rechtsinvarianten Haarschen Maße.

Ein Beispiel für eine unimodulare, lokalkompakte Gruppe, die unter keinen dieser drei Typen fällt, ist die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}. Ein links- und rechts-invariantes Maß ist durch

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}{\frac {1}{|\det(u)|}},円\mathrm {d} \lambda (u)}${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}{\frac {1}{|\det(u)|}},円\mathrm {d} \lambda (u)}

gegeben, wobei ${\displaystyle \lambda }${\displaystyle \lambda } das Lebesguemaß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}} ist.

Wir geben hier ein Beispiel für eine nicht-triviale modulare Funktion. Es sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} die lokalkompakte Gruppe aller ${\displaystyle 2\times 2}${\displaystyle 2\times 2}-Matrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\0円&1\end{pmatrix}}}${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\0円&1\end{pmatrix}}}

mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a>0}${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a>0}. Ein links-invariantes Haarsches Maß ist durch

${\displaystyle \mu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a^{2}}},円\mathrm {d} a\mathrm {d} b}${\displaystyle \mu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a^{2}}},円\mathrm {d} a\mathrm {d} b}

gegeben, ein rechtsinvariantes durch

${\displaystyle \nu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a}},円\mathrm {d} a\mathrm {d} b}${\displaystyle \nu (A)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} ^{+}}{\frac {1}{a}},円\mathrm {d} a\mathrm {d} b}.

Damit ergibt sich^[2]

${\displaystyle \Delta _{G}({\begin{pmatrix}a&b\0円&1\end{pmatrix}}),円=,円{\frac {1}{a}}}${\displaystyle \Delta _{G}({\begin{pmatrix}a&b\0円&1\end{pmatrix}}),円=,円{\frac {1}{a}}}.

Es sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine lokalkompakte Gruppe mit linksinvariantem Haarschen Maß ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu }. Für eine Funktion ${\displaystyle f\colon G\rightarrow R}${\displaystyle f\colon G\rightarrow R} sei ${\displaystyle f_{s}(t),円:=,円f(ts^{-1})}${\displaystyle f_{s}(t),円:=,円f(ts^{-1})}, die sogenannte Translation von ${\displaystyle f}${\displaystyle f} um ${\displaystyle s}${\displaystyle s}.

Ist ${\displaystyle \chi _{A}}${\displaystyle \chi _{A}} die charakteristische Funktion der Borelmenge ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, so ist ${\displaystyle (\chi _{A})_{s}=\chi _{As}}${\displaystyle (\chi _{A})_{s}=\chi _{As}} und daher nach Konstruktion der modularen Funktion

${\displaystyle \int (\chi _{A})_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int \chi _{As}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\mu (As)=\Delta _{G}(s)\mu (A)=\Delta _{G}(s)\int \chi _{A}(t)\mathrm {d} \mu (t)}${\displaystyle \int (\chi _{A})_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int \chi _{As}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\mu (As)=\Delta _{G}(s)\mu (A)=\Delta _{G}(s)\int \chi _{A}(t)\mathrm {d} \mu (t)}.

Mit den üblichen maßtheoretischen Schlüssen erhält man daraus für jede ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu }-integrierbare Funktion ${\displaystyle f}${\displaystyle f}:^[3]

${\displaystyle \int f_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\Delta _{G}(s)\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)}${\displaystyle \int f_{s}(t)\mathrm {d} \mu (t)=\Delta _{G}(s)\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)}.

Weiter tritt die modulare Funktion auf, wenn man über invertierte Argumente integriert. Für ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu }-integrierbare Funktionen ${\displaystyle f}${\displaystyle f} auf ${\displaystyle G}${\displaystyle G} gilt^[4]

${\displaystyle \int f(t^{-1})\Delta _{G}(t^{-1})\mathrm {d} \mu (t),円=,円\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)}${\displaystyle \int f(t^{-1})\Delta _{G}(t^{-1})\mathrm {d} \mu (t),円=,円\int f(t)\mathrm {d} \mu (t)}.

Schließlich kommt die modulare Funktion in der Definition der Involution auf der Faltungsalgebra ${\displaystyle L^{1}(G)}${\displaystyle L^{1}(G)} vor. Auf dem ${\displaystyle L^{1}}${\displaystyle L^{1}}-Raum über ${\displaystyle (G,\mu )}${\displaystyle (G,\mu )} definiere man für Funktionen ${\displaystyle f,g\in L^{1}(G)}${\displaystyle f,g\in L^{1}(G)}

${\displaystyle f\star g(t),円:=\int f(s)g(s^{-1}t)\mathrm {d} \mu (s)}${\displaystyle f\star g(t),円:=\int f(s)g(s^{-1}t)\mathrm {d} \mu (s)}

${\displaystyle f^{*}(t):=\Delta _{G}(t^{-1}){\overline {f(t^{-1})}}}${\displaystyle f^{*}(t):=\Delta _{G}(t^{-1}){\overline {f(t^{-1})}}}.

Dabei ist ${\displaystyle f\star g}${\displaystyle f\star g} nur fast überall definiert, nämlich dort, wo das Integral existiert, und der Querstrich steht für die komplexe Konjugation. Mit dem durch ${\displaystyle \star }${\displaystyle \star } definierten sogenannten Faltungsprodukt und der Abbildung ${\displaystyle f\mapsto f^{*}}${\displaystyle f\mapsto f^{*}} wird ${\displaystyle L^{1}(G)}${\displaystyle L^{1}(G)} zu einer Banachalgebra mit isometrischer Involution.^[5] Die Untersuchung dieser Banachalgebra ist ein wichtiges Instrument der harmonischen Analyse.

1. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 9.3.4.
2. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Kapitel 9.3, Übung 2
3. ↑ Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Text nach Satz 9.3.3.
4. ↑ Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Co., Princeton NJ u. a. 1953, § 30B.
5. ↑ Jacques Dixmier: C*-algebras (= North-Holland Mathematical Library. Bd. 15). North Holland Publishing Company, Amsterdam u. a. 1977, ISBN 0-7204-2450-X, Kapitel 13.2.

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