Membrangleichung (Statik)

Die Membrangleichung beschreibt statisch eine Membran durch eine partielle Differentialgleichung.

Eine Last ${\displaystyle p}${\displaystyle p} wirkt auf eine Membran, die vollständig biegsam ist. Die dadurch entstandene Krümmung wird von einer Membranzugkraft ${\displaystyle H}${\displaystyle H} aufgenommen. Teilt man diese Membran in zwei senkrechte Streifen in ${\displaystyle x}${\displaystyle x}-Richtung und in ${\displaystyle y}${\displaystyle y}-Richtung, so lassen sich unter der Annahme, dass die Durchbiegung ${\displaystyle w}${\displaystyle w} klein ist, folgende Beziehungen aufstellen:^[1]

${\displaystyle H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}=-p_{x}}${\displaystyle H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}=-p_{x}}

und

${\displaystyle H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}=-p_{y}}${\displaystyle H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}=-p_{y}}.

Dabei sind ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial x^{2}}}}${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial x^{2}}}} und ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial y^{2}}}}${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial y^{2}}}} die zweiten Ableitungen in ${\displaystyle x}${\displaystyle x}- und ${\displaystyle y}${\displaystyle y}-Richtung. ${\displaystyle p_{x}}${\displaystyle p_{x}} und ${\displaystyle p_{y}}${\displaystyle p_{y}} sind die Anteile der Last ${\displaystyle p}${\displaystyle p} in ${\displaystyle x}${\displaystyle x}- und ${\displaystyle y}${\displaystyle y}-Richtung.

Mit der Gleichgewichtsbedingung ${\displaystyle p=p_{x}+p_{y}}${\displaystyle p=p_{x}+p_{y}} erhält man nun die Membrangleichung:

${\displaystyle \Delta w={\frac {p}{H}}}${\displaystyle \Delta w={\frac {p}{H}}},

wobei ${\displaystyle \Delta }${\displaystyle \Delta } der Laplaceoperator ist.

Als Randbedingung nimmt man ${\displaystyle w=0}${\displaystyle w=0} an. Das heißt, der Rand ist gestützt und erfährt keine Durchbiegung.

Das Problem stellt damit eine Poissongleichung dar.

Eine Anwendung mit der Membrananalogie der Torsion hat Ludwig Prandtl 1903 veröffentlicht und sie mit der Saint-Venantsche Torsion verknüpft.^{[1] [2]}

1. ↑ ^{a b} Fritz Stüssi: Entwurf und Berechnung von Stahlbauten. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1958, ISBN 978-3-662-11682-1, S. 206, doi:10.1007/978-3-662-11682-1 . 
2. ↑ Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen. Springer Verlag, Heidelberg, Berlin 1961, ISBN 978-3-662-11836-8, Zur Torsion von prismatischen Stäben, S. 79–80, doi:10.1007/978-3-662-11836-8_4 . 

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