Maurer-Cartan-Form

Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan.

Sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine Lie-Gruppe, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G} ihre Lie-Algebra. Für ${\displaystyle g\in G}${\displaystyle g\in G} induziert die Links-Multiplikation

${\displaystyle L_{g^{-1}}:G\rightarrow G}${\displaystyle L_{g^{-1}}:G\rightarrow G}

${\displaystyle L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h}${\displaystyle L_{g^{-1}}(h):=g^{-1}h}

das Differential

${\displaystyle (DL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}}${\displaystyle (DL_{g^{-1}})_{g}:T_{g}G\rightarrow T_{e}G={\mathfrak {g}}}.

Die Maurer-Cartan-Form ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})}${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(G,{\mathfrak {g}})} ist definiert durch

${\displaystyle \omega (v):=(DL_{g^{-1}})_{g}(v)}${\displaystyle \omega (v):=(DL_{g^{-1}})_{g}(v)}

für ${\displaystyle v\in T_{g}G,g\in G}${\displaystyle v\in T_{g}G,g\in G}.^[1]

Die Maurer-Cartan-Form erfüllt die Gleichung

${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}${\displaystyle d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0}.

Hierbei ist der Kommutator Lie-algebra-wertiger Differentialformen durch

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}

und die äußere Ableitung ${\displaystyle d\omega }${\displaystyle d\omega } durch

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y])}

definiert.

1. ↑ Jeffrey M. Lee: Manifolds and differential geometry. American Mathematical Society, Providence, R.I. 2009, ISBN 0-8218-4815-1, Chapter: 5.6 The Maurer Cartan Form. 

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