Mandelbox

In der Mathematik ist die Mandelbox ein Fraktal mit einer kastenartigen Form, das 2010 von Tom Lowe entdeckt wurde.^{[1] [2]} Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Benoît Mandelbrot, da die Mandelbox eine mögliche Verallgemeinerung der Mandelbrot-Menge für den euklidischen Raum ist.

Die Mandelbrot-Menge lässt sich definieren als die Menge aller komplexen Zahlen ${\displaystyle c}${\displaystyle c}, für die die durch

${\displaystyle f_{c}(0):=0,}${\displaystyle f_{c}(0):=0,}

${\displaystyle f_{c}(n+1):=f_{c}(n)^{2}+c}${\displaystyle f_{c}(n+1):=f_{c}(n)^{2}+c} für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}

rekursiv definierte Folge ${\displaystyle \left(f_{c}(n)\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}${\displaystyle \left(f_{c}(n)\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}} beschränkt ist. Man erkennt, dass die Bildungsvorschrift „erst quadrieren und dann ${\displaystyle c}${\displaystyle c} addieren" ausgehend von 0 immer wieder iteriert wird. Statt Fraktale in ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} } zu betrachten, könnte man auch eine Verallgemeinerung zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} versuchen. Dabei interpretiert man das Quadrieren als eine Art „Aufblähung" zu einer Box oder Kugel.

Wir definieren ${\displaystyle f_{\text{Box}}\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle f_{\text{Box}}\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}} folgendermaßen:^[3] Für ${\displaystyle d=1}${\displaystyle d=1} setze man

${\displaystyle f_{\text{Box}}(x)={\begin{cases}-2-x&x<-1\\x&-1\leq x\leq 1\2円-x&x>1\\\end{cases}}}${\displaystyle f_{\text{Box}}(x)={\begin{cases}-2-x&x<-1\\x&-1\leq x\leq 1\2円-x&x>1\\\end{cases}}}

Anschaulich gesagt „faltet" man hier die Teile der Zahlengerade die ${\displaystyle <-1}${\displaystyle <-1} bzw. ${\displaystyle >1}${\displaystyle >1} an den Rändern des Intervalls ${\displaystyle [-1,1]}${\displaystyle [-1,1]} zusammen. Für jedes ${\displaystyle |x|>1}${\displaystyle |x|>1} gibt es eine Zahl von Faltungen (Anwendungen der Funktion ${\displaystyle f_{\text{Box}}}${\displaystyle f_{\text{Box}}}), die ${\displaystyle x}${\displaystyle x} ins Intervall bringt, wo es dann bei allen weiteren Anwendungen von ${\displaystyle f_{\text{Box}}}${\displaystyle f_{\text{Box}}} bleibt. Für ${\displaystyle d>1}${\displaystyle d>1} und ${\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{d})}${\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{d})} setze man

${\displaystyle f_{\text{Box}}(x_{1},\dotsc ,x_{d}):=(f_{\text{Box}}(x_{1}),\dotsc ,f_{\text{Box}}(x_{d})).}${\displaystyle f_{\text{Box}}(x_{1},\dotsc ,x_{d}):=(f_{\text{Box}}(x_{1}),\dotsc ,f_{\text{Box}}(x_{d})).}

In den einzelnen Komponenten rechts soll ${\displaystyle f_{\text{Box}}}${\displaystyle f_{\text{Box}}} die Funktion im Eindimensionalen bezeichnen.

Die Funktion ${\displaystyle f_{\text{Ball}}\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle f_{\text{Ball}}\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}} definiere man durch

${\displaystyle f_{\text{Ball}}(x)={\begin{cases}4x&\lVert x\rVert <{\frac {1}{2}}\\{\frac {x}{\lVert x\rVert ^{2}}}&{\frac {1}{2}}\leq \lVert x\rVert \leq 1\\x&\lVert x\rVert >1\\\end{cases}}}${\displaystyle f_{\text{Ball}}(x)={\begin{cases}4x&\lVert x\rVert <{\frac {1}{2}}\\{\frac {x}{\lVert x\rVert ^{2}}}&{\frac {1}{2}}\leq \lVert x\rVert \leq 1\\x&\lVert x\rVert >1\\\end{cases}}}

Hier bezeichnet ${\displaystyle \lVert x\rVert }${\displaystyle \lVert x\rVert } die Norm des Vektors ${\displaystyle x}${\displaystyle x}. Die Funktion ${\displaystyle f_{\text{Ball}}}${\displaystyle f_{\text{Ball}}} lässt, anschaulich gesagt, das Innere einer Sphäre „explodieren", wobei die erste Bedingung vor allem wegen des Punktes ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0} notwendig ist, da man durch ${\displaystyle 0}${\displaystyle 0} nicht dividieren kann.

Anschließend benötigen wir die zwei Rechenoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation.

Die Mandelbox ${\displaystyle M_{d,\mu }\subseteq \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle M_{d,\mu }\subseteq \mathbb {R} ^{d}} bezüglich eines reellen Parameters ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } ist die Menge aller Punkte ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{d}}, für die die rekursiv definierte Folge ${\displaystyle (m_{\mu ,c}(n))}${\displaystyle (m_{\mu ,c}(n))}

${\displaystyle m_{\mu ,c}(0)=0,}${\displaystyle m_{\mu ,c}(0)=0,}

${\displaystyle m_{\mu ,c}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(m_{\mu ,c}(n)))+c,}${\displaystyle m_{\mu ,c}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(m_{\mu ,c}(n)))+c,}

beschränkt ist. Die Zahl ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } wird hierbei Skalierungsfaktor genannt.

Eine Julia-Box definiert man als Menge aller Punkte ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{d}}, sodass für ein festes ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{d}} die Folge ${\displaystyle (j_{\mu ,v}(n))}${\displaystyle (j_{\mu ,v}(n))} definiert durch

${\displaystyle j_{\mu ,v}(0)=v,}${\displaystyle j_{\mu ,v}(0)=v,}

${\displaystyle j_{\mu ,v}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(j_{\mu ,c}(n)))+c,}${\displaystyle j_{\mu ,v}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(j_{\mu ,c}(n)))+c,}

beschränkt ist.^{[4] [5]}

Für ${\displaystyle d=2}${\displaystyle d=2} und ${\displaystyle \mu =1}${\displaystyle \mu =1} erhält man (nach der üblichen Identifikation des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} mit ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} }) die Mandelbrot-Menge. Ansonsten hängt das Aussehen der Mandelbox im Wesentlichen von ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } ab. Für ${\displaystyle d=3}${\displaystyle d=3} kann man folgende computergenerierte Grafiken angeben:

• '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"'
  ${\displaystyle \mu =-2}${\displaystyle \mu =-2}
• '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"'
  ${\displaystyle \mu =-1,5}${\displaystyle \mu =-1,5}
• '"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"'
  ${\displaystyle \mu =-1}${\displaystyle \mu =-1}
• '"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"'
  ${\displaystyle \mu =3}${\displaystyle \mu =3}

• Für ${\displaystyle \mu <-1}${\displaystyle \mu <-1} gilt: Gilt für ein ${\displaystyle (v_{1},\dots v_{d})\in \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle (v_{1},\dots v_{d})\in \mathbb {R} ^{d}} die Ungleichung ${\displaystyle \vert \max(v_{1},\dots v_{d})\vert >2}${\displaystyle \vert \max(v_{1},\dots v_{d})\vert >2}, so ist ${\displaystyle v\notin M_{d,\mu }}${\displaystyle v\notin M_{d,\mu }}. Daraus folgt unmittelbar, dass ${\displaystyle [-2,2]^{d}}${\displaystyle [-2,2]^{d}} die größtmögliche in dem Fraktal erhaltene Box ist. Rechts sieht man ein Beispiel, wenn die Skalierung auf -1,5 gesetzt wird.^[6]
• Für ${\displaystyle \mu >1}${\displaystyle \mu >1} ist ein Punkt ${\displaystyle (v_{1},\dots v_{d})\in \mathbb {R} ^{d}}${\displaystyle (v_{1},\dots v_{d})\in \mathbb {R} ^{d}} nicht in ${\displaystyle M_{d,\mu }}${\displaystyle M_{d,\mu }} enthalten, wenn^[6]

${\displaystyle \vert \max(v_{1},\dots v_{d})\vert >{\frac {2(\mu +1)}{\mu -1}}.}${\displaystyle \vert \max(v_{1},\dots v_{d})\vert >{\frac {2(\mu +1)}{\mu -1}}.}

• Im Allgemeinen ergeben sich abhängig vom Wert ${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } unterschiedliche Fraktale. Zum jetzigen Stand (2024) sind die Fraktale noch nicht zufriedenstellend charakterisiert worden.^[7]

• Tom Lowe: Mandelbox. In: sites.google.com. 18. März 2010; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
• Jos Leys: Gallery: Mandelbox. In: josleys.com. 28. Mai 2010; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
• Rudi Chen: The Mandelbox Set. In: digitalfreepen.com. 23. März 2014; abgerufen am 12. November 2024 (englisch). 
• Krzysztof Marczak: Flight through Mandelbox fractal. In: youtube.com. 7. März 2010; abgerufen am 12. November 2024. 
• Studio Motu: The Mandelbox Fractal. In: youtube.com. 7. Februar 2024; abgerufen am 12. November 2024. 

1. ↑ Andrzej Katunin: A Concise Introduction to Hypercomplex Fractals, CRC Press, 2017, S. 32 f.
2. ↑ Jos Leys: Mandelbox. Images des Mathématiques. cnrs.fr, 27. Mai 2010; abgerufen am 12. November 2024 (französisch). 
3. ↑ Die Darstellung orientiert sich im Folgenden an Rudi Chen: The Mandelbox Set. In: digitalfreepen.com. Abgerufen am 24. März 2024. 
4. ↑ Chen, The Mandelbox Set., Kapitel Definitions, Definition Juliabox set
5. ↑ Leys, Mandelbox. Images des Mathématiques., Kapitel Variations sur un cube, vor dem 3. Bild
6. ↑ ^{a b} Chen, The Mandelbox Set., Kapitel Bounds, Theorem Bounds for negative boxes.
7. ↑ Sophia D. Merow: Tricky Math, but Trippy Graphics: The Quixotic Search for the "3D Mandelbrot". In: Notices of the American Mathematical Society. Band 69, Nr. 4, April 2022, S. 624, doi:10.1090/noti2458 (ams.org [PDF]). 

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