Magnetisches Vektorpotential

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Physikalische Größe
Name	magnetisches Vektorpotential
Formelzeichen	${\displaystyle {\vec {A}}}${\displaystyle {\vec {A}}}
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI T·m = V·s·m −1 M 1 L 1 T −2 I −1

Das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}${\displaystyle {\vec {A}}}, oft auch nur als Vektorpotential bezeichnet, ist in der klassischen Elektrodynamik ein Vektorfeld, dessen Rotation die magnetische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})} ergibt:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})={\vec {B}}({\vec {r}})}${\displaystyle \nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})={\vec {B}}({\vec {r}})}.

Historisch wurde es als mathematisches Hilfsmittel entwickelt, um die magnetische Flussdichte leichter zu beschreiben. Es lässt sich u. a. auch dazu verwenden, die zur Beschreibung des elektromagnetischen Felds verwendeten Maxwell-Gleichungen zu entkoppeln und dadurch leichter lösbar zu machen.

Obwohl es zunächst nur als mathematisches Hilfsmittel eingeführt wurde, kommt ihm in der Quantenmechanik physikalische Realität zu, wie das Aharonov-Bohm-Experiment zeigt.

Das magnetische Vektorpotential hat die SI-Einheit ${\displaystyle [A]=\mathrm {T\cdot m} =\mathrm {\frac {V,円s}{m}} }${\displaystyle [A]=\mathrm {T\cdot m} =\mathrm {\frac {V,円s}{m}} }.

Das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)}${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)} ist ein Vektorfeld, das zusammen mit dem elektrischen Potential ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)} durch die Gleichungen

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)\qquad {\vec {E}}=-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {\partial {\vec {A}}({\vec {r}},t)}{\partial t}}}${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)\qquad {\vec {E}}=-\nabla \Phi ({\vec {r}},t)-{\frac {\partial {\vec {A}}({\vec {r}},t)}{\partial t}}}

definiert ist. ${\displaystyle {\vec {B}}}${\displaystyle {\vec {B}}} steht für die magnetische Flussdichte, ${\displaystyle {\vec {E}}}${\displaystyle {\vec {E}}} für das elektrische Feld. In der Magnetostatik ist das magnetische Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})} nicht zeitabhängig. Es ist deshalb vollständig durch die erste Gleichung unabhängig vom elektrischen Potential definiert.

${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})}

Das magnetische Vektorpotential ist eine Anwendung des rein mathematischen Vektorpotentials.

In der Magnetostatik erfüllt das Vektorpotential die Poisson-Gleichung (mit der Vakuumpermeabilität ${\displaystyle \mu _{0}}${\displaystyle \mu _{0}}):

${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}})=-\mu _{0}{\vec {j}}}${\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}})=-\mu _{0}{\vec {j}}}.

Diese Differentialgleichung kann mit einer Faltung (siehe Greensche Funktion) gelöst werden, um das magnetische Vektorpotential zu erhalten:

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r',,円}${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r',,円}

Diese Beziehung gilt nur, wenn die Stromdichte ${\displaystyle {\vec {j}}}${\displaystyle {\vec {j}}} im Unendlichen verschwindet und dabei mindestens so schnell wie ${\displaystyle 1/r}${\displaystyle 1/r} gegen null geht.

In der Elektrodynamik erweitert sich die Poisson-Gleichung zur (inhomogenen) Wellengleichung für das Vektorpotential

${\displaystyle \Box {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}({\vec {r}},t)-\nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}},t)=\mu _{0}{\vec {j}}}${\displaystyle \Box {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}({\vec {r}},t)-\nabla ^{2}{\vec {A}}({\vec {r}},t)=\mu _{0}{\vec {j}}},

wobei ${\displaystyle \Box }${\displaystyle \Box } der D’Alembert-Operator ist.

Die inhomogenen Lösungen dieser Gleichung sind das retardierte bzw. avancierte Vektorpotential

${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}',t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'}${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}',t')}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right|}}\mathrm {d} ^{3}r'}, mit ${\displaystyle t'=t\mp {\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}${\displaystyle t'=t\mp {\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}.

Weil die Divergenz einer Rotation immer Null ist, gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.\end{aligned}}}

Die Definition sorgt so dafür, dass Induktionsgesetz und das Gaußsches Gesetz für Magnetfelder, also zwei der Maxwell-Gleichungen, automatisch erfüllt sind.

Das magnetische Vektorpotential ist als Vektorfeld außerdem nicht konservativ. Andernfalls wäre es durch den Gradienten eines skalaren Feldes ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } darstellbar und es würde gelten:

${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0,円,円.}${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}})=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}})=\nabla \times \nabla \alpha \equiv 0,円,円.}

Skalares Potential und Vektorpotential werden in der Relativitätstheorie und der Quantenelektrodynamik zum Viererpotential

${\displaystyle A^{\mu }=\left(\Phi /c,{\vec {A}}\right)}${\displaystyle A^{\mu }=\left(\Phi /c,{\vec {A}}\right)}

zusammengefasst.

Das Vektorpotential ist nur bis auf ein Gradientenfeld bestimmt, weil die Rotation eines Gradientenfeldes immer verschwindet. Für jede skalare Funktion ${\displaystyle \chi ({\vec {r}},t)}${\displaystyle \chi ({\vec {r}},t)} gilt also

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}({\vec {r}},t)'&={\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \chi ({\vec {r}},t)\\\Rightarrow \;\;{\vec {B}}({\vec {r}},t)'&=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)'=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\vec {B}}({\vec {r}},t),円.\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {A}}({\vec {r}},t)'&={\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \chi ({\vec {r}},t)\\\Rightarrow \;\;{\vec {B}}({\vec {r}},t)'&=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)'=\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times {\vec {A}}({\vec {r}},t)={\vec {B}}({\vec {r}},t),円.\end{aligned}}}

Verschieden geeichte Vektorpotentiale führen immer auf dasselbe magnetische Feld. Dies wird als Eichinvarianz bezeichnet.

• In der Magnetostatik kann das Vektorpotential über die Coulomb-Eichung quellfrei gemacht werden, das bedeutet

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}})=0}${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}})=0}.

• In der Elektrodynamik, d. h. bei nicht-statischen Verhältnissen, benutzt man dagegen meist die Lorenz-Eichung, die für die Berechnung elektromagnetischer Wellenfelder nützlich ist:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi ({\vec {r}},t)=0,円.}${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}({\vec {r}},t)+{\frac {1}{\ c^{2}}}\partial _{t}\Phi ({\vec {r}},t)=0,円.}

Dabei ist ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)}${\displaystyle \Phi ({\vec {r}},t)} das skalare elektrische Potential und ${\displaystyle c}${\displaystyle c} die Lichtgeschwindigkeit.

Bei der Berechnung von Feldern in ladungs- und leitungsstromfreien Gebieten, z. B. in Hohlleitern begegnet man dem elektrischen Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {F}}}${\displaystyle {\vec {F}}}, es hat die Einheit einer Linienladungsdichte ${\displaystyle {\frac {C}{m}}}${\displaystyle {\frac {C}{m}}}.

Aufgrund der Quellenfreiheit der betrachteten Felder gilt

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}=0}${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}=0}       bzw.

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {E}}=0}${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {E}}=0}       sowie

${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0}${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0}.

Um einen funktionalen Zusammenhang zwischen ${\displaystyle {\vec {D}}(r)}${\displaystyle {\vec {D}}(r)} und ${\displaystyle {\vec {F}}(r)}${\displaystyle {\vec {F}}(r)} zu erhalten, subtrahiert man die Gleichungen ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}=0}${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {D}}=0} und ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0}${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} {\vec {F}}=0} voneinander und erhält:

${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {D}}-\operatorname {rot} {\vec {F}})=0}${\displaystyle \operatorname {div} ({\vec {D}}-\operatorname {rot} {\vec {F}})=0}

Das Wirbelfeld ${\displaystyle {\vec {F}}}${\displaystyle {\vec {F}}} nennt man elektrisches Vektorpotential. Es beschreibt nur zeitlich veränderliche elektrische Felder.

Gemäß dem helmholtzschen Theorem kann (fast) jedes Vektorfeld ${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})} als Superposition zweier Komponenten ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})} und ${\displaystyle {\vec {G}}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {G}}({\vec {r}})} aufgefasst werden, deren erste der Gradient eines Skalarpotentials ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})} ist, die zweite dagegen die Rotation eines Vektorpotentials ${\displaystyle {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}:

${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} ,円\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} ,円{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=\operatorname {grad} ,円\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} ,円{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}})}

Ist ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}}),円}${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}}),円} ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}},円}${\displaystyle {\vec {F}},円} dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials ${\displaystyle \Phi \ }${\displaystyle \Phi \ } entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Schreibweise

${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} ,円\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} ,円{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}${\displaystyle {\vec {K}}({\vec {r}})={\vec {F}}({\vec {r}})+{\vec {G}}({\vec {r}})=-\operatorname {grad} ,円\Phi ({\vec {r}})+\operatorname {rot} ,円{\vec {\Gamma }}({\vec {r}})=-\nabla \Phi ({\vec {r}})+\nabla \times {\vec {\Gamma }}({\vec {r}}).}

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-42018-5

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