Lokale Messbarkeit

In der Mathematik, genauer in der Maßtheorie, ist lokale Messbarkeit eine Eigenschaft, die Funktionen zukommt.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ein Maßraum und ${\displaystyle (S,{\mathcal {B}})}${\displaystyle (S,{\mathcal {B}})} ein Messraum. Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon \Omega \to S}${\displaystyle f\colon \Omega \to S} heißt lokal messbar, falls für jedes ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} mit ${\displaystyle \mu (A)<\infty }${\displaystyle \mu (A)<\infty } die Abbildung ${\displaystyle f|_{A}\colon (A,{\mathcal {A}}\cap A)\to (S,{\mathcal {B}})}${\displaystyle f|_{A}\colon (A,{\mathcal {A}}\cap A)\to (S,{\mathcal {B}})} messbar ist, d. h. falls für jedes ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} stets ${\displaystyle f^{-1}(B)\cap A\in {\mathcal {A}}}${\displaystyle f^{-1}(B)\cap A\in {\mathcal {A}}} ist.

• Jede messbare Funktion ist auch lokal messbar.
• Ist ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ein σ-endlicher Maßraum, so ist jede lokal messbare Funktion auch messbar, im Allgemeinen ist dies jedoch falsch.

• Ehrhard Behrends: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1987, ISBN 3-540-17850-3, Abschnitt IV.3, S. 184–192.

• Maßtheorie