Leibnizregel für Parameterintegrale

Die Leibnizregel für Parameterintegrale erlaubt die Berechnung der Ableitung eines Parameterintegrals nach seinem Parameter.

Gegeben sei das Parameterintegral

${\displaystyle F(t)=\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,}${\displaystyle F(t)=\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,}

wobei die Funktion ${\displaystyle f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }${\displaystyle f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }, ${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)}${\displaystyle (t,x)\mapsto f(t,x)}, stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} }${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}f\colon (\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R} } ist und ${\displaystyle a,b\colon (\alpha ,\beta )\to (c,d)}${\displaystyle a,b\colon (\alpha ,\beta )\to (c,d)} stetig differenzierbar sind. Dann ist ${\displaystyle F}${\displaystyle F} auf dem offenen Intervall ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}${\displaystyle (\alpha ,\beta )} stetig differenzierbar.

Für die Ableitung gilt die Leibnizregel für Parameterintegrale^[1] :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}F(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.}${\displaystyle {\frac {d}{dt}}F(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.}

Zur Herleitung kann man die Funktion ${\displaystyle \textstyle G(t,u,v)=\int _{u}^{v}f(t,x)\mathrm {d} x}${\displaystyle \textstyle G(t,u,v)=\int _{u}^{v}f(t,x)\mathrm {d} x} definieren und zeigen, dass sie auf ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\times (c,d)}${\displaystyle (\alpha ,\beta )\times (c,d)} stetig differenzierbar ist: ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}G}${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}G} existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial u}}G}${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial u}}G} und ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial v}}G}${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial v}}G} folgen aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

${\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(t,a(t),b(t))={\tfrac {\partial }{\partial t}}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+{\tfrac {\partial }{\partial u}}G(t,a(t),b(t))a'(t)+{\tfrac {\partial }{\partial v}}G(t,a(t),b(t))b'(t)\\&=\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x-f(t,a(t))a'(t)+f(t,b(t))b'(t).\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}F'(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(t,a(t),b(t))={\tfrac {\partial }{\partial t}}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+{\tfrac {\partial }{\partial u}}G(t,a(t),b(t))a'(t)+{\tfrac {\partial }{\partial v}}G(t,a(t),b(t))b'(t)\\&=\int _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x-f(t,a(t))a'(t)+f(t,b(t))b'(t).\end{aligned}}}

Anwendung findet die Leibnizregel für Parameterintegrale beispielsweise in der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen in der Variationsrechnung bei der Extremalisierung von (parametrisierten) Funktionalen.

• Rob Harron: The Leibniz Rule. In: MAT-203. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 

1. ↑ Murray H. Protter, Charles B. Jr. Morrey: Intermediate Calculus. Second Auflage. Springer, New York 1985, ISBN 978-0-387-96058-6, Differentiation under the Integral Sign, S. 421–426, doi:10.1007/978-1-4612-1086-3 (englisch, google.com). 

• Integralrechnung