Laplace-Formel

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Pierre-Simon Laplace (Gemälde aus dem 19. Jahrhundert)

Die Laplace-Formel ist eine mathematische Formel aus der elementaren Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hat ein Zufallsexperiment nur endlich viele Elementarereignisse und haben diese alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt für die Wahrscheinlichkeit P ( A ) {\displaystyle P(A)} {\displaystyle P(A)} eines Ereignisses A {\displaystyle A} {\displaystyle A}:

P ( A ) = Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis  A  eintritt Anzahl aller möglichen Ergebnisse {\displaystyle P(A)={\frac {{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis }}A{\text{ eintritt}}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}}} {\displaystyle P(A)={\frac {{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis }}A{\text{ eintritt}}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}}}

oder formeller

P ( A ) = | A | | Ω | {\displaystyle P(A)={\frac {\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}}} {\displaystyle P(A)={\frac {\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}}},

wenn | A | {\displaystyle |A|} {\displaystyle |A|} und | Ω | {\displaystyle |\Omega |} {\displaystyle |\Omega |} die Anzahl der Elemente des Ereignisses A {\displaystyle A} {\displaystyle A} bzw. der Ergebnismenge Ω {\displaystyle \Omega } {\displaystyle \Omega } bezeichnen.

Benannt ist die Formel nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Simon Laplace (1749–1827).

Beispiele und Gegenbeispiele

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Rouletterad
Urnenmodell
Spielwürfel

Beim Roulette wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 37 {\displaystyle p={\tfrac {1}{37}}} {\displaystyle p={\tfrac {1}{37}}} ausgespielt.

Ziehen aus einer Urne

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Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer Urne mit n {\displaystyle n} {\displaystyle n} gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit p = 1 n {\displaystyle p={\tfrac {1}{n}}} {\displaystyle p={\tfrac {1}{n}}} gezogen.

Doppelwurf eines Spielwürfels

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Beim zweimaligen Werfen eines Spielwürfels gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen

Ω = { ( i , j ) ∣ i , j = 1 , … , 6 } {\displaystyle \Omega =\{(i,j)\mid i,j=1,\dotsc ,6\}} {\displaystyle \Omega =\{(i,j)\mid i,j=1,\dotsc ,6\}}.

Gleichwahrscheinliche Ereignisse

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Ist der Spielwürfel ein Laplace-Würfel, so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist

P ( A ) = 4 36 = 1 9 {\displaystyle P(A)={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}} {\displaystyle P(A)={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}}

die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A {\displaystyle A} {\displaystyle A}, die Augensumme 9 zu erhalten.

Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse

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Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.[1]

Dies lässt sich mittels eines Widerspruchsbeweises zeigen.

Es sei p i {\displaystyle p_{i}} {\displaystyle p_{i}} die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl i {\displaystyle i} {\displaystyle i} und q i {\displaystyle q_{i}} {\displaystyle q_{i}} die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl i {\displaystyle i} {\displaystyle i} geworfen wird. Dann ist p 1 q 1 {\displaystyle p_{1}q_{1}} {\displaystyle p_{1}q_{1}} die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und p 6 q 6 {\displaystyle p_{6}q_{6}} {\displaystyle p_{6}q_{6}} die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.

Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten 1 11 {\displaystyle {\tfrac {1}{11}}} {\displaystyle {\tfrac {1}{11}}} betragen.

Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:

1 11 = p 1 q 6 + p 2 q 5 + p 3 q 4 + p 4 q 3 + p 5 q 2 + p 6 q 1 {\displaystyle {\frac {1}{11}}=p_{1}q_{6}+p_{2}q_{5}+p_{3}q_{4}+p_{4}q_{3}+p_{5}q_{2}+p_{6}q_{1}} {\displaystyle {\frac {1}{11}}=p_{1}q_{6}+p_{2}q_{5}+p_{3}q_{4}+p_{4}q_{3}+p_{5}q_{2}+p_{6}q_{1}}
≥ p 1 q 6 + p 6 q 1 = p 1 q 6 ( q 1 q 1 ) + p 6 q 1 ( q 6 q 6 ) = p 1 q 1 ( q 6 q 1 ) + p 6 q 6 ( q 1 q 6 ) {\displaystyle \geq p_{1}q_{6}+p_{6}q_{1}=p_{1}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{6}}}\right)=p_{1}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)} {\displaystyle \geq p_{1}q_{6}+p_{6}q_{1}=p_{1}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{6}}}\right)=p_{1}q_{1}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+p_{6}q_{6}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)}
= 1 11 ( q 6 q 1 ) + 1 11 ( q 1 q 6 ) = 1 11 ( q 6 q 1 + q 1 q 6 ) {\displaystyle ={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+{\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)} {\displaystyle ={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}\right)+{\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)={\frac {1}{11}}\left({\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\right)}
⇔ q 6 q 1 + q 1 q 6 ≤ 1 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\leq 1} {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {q_{6}}{q_{1}}}+{\frac {q_{1}}{q_{6}}}\leq 1} (*)

Wegen x + 1 x ≥ 2 {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geq 2} {\displaystyle x+{\frac {1}{x}}\geq 2} für alle reellen Zahlen x > 0 {\displaystyle x>0} {\displaystyle x>0} ergibt sich ein Widerspruch zu (*).

Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.

Geschlecht eines neugeborenen Kindes

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Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.[2]

  • Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5. 

Einzelnachweise

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  1. ↑ Ross Honsberger: Gitter - Reste - Würfel Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 130 und 131
  2. ↑ Karl Bosch: Statistik für Nichtstatistiker - Zufall und Wahrscheinlichkeit R. Oldenbourg Verlag München Wien 2007, ISBN 978-3-486-58219-2, S. 16–21
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