Langevin-Funktion

Die Langevin-Funktion ${\displaystyle L(x)}${\displaystyle L(x)} (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Die Langevin-Funktion^[1] ist definiert durch

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{1 \over x}}${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{1 \over x}},

wobei ${\displaystyle \coth }${\displaystyle \coth } den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter ${\displaystyle \xi }${\displaystyle \xi } eingeführt:

${\displaystyle \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }T}}}${\displaystyle \xi ={\frac {mB}{k_{\mathrm {B} }T}}}

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

• ${\displaystyle m}${\displaystyle m}: Magnetisches Moment eines Teilchens
• ${\displaystyle B}${\displaystyle B}: Betrag der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}: Boltzmann-Konstante
• ${\displaystyle T}${\displaystyle T}: Absolute Temperatur

Für die Magnetisierung ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eines Paramagneten ergibt sich dann:

${\displaystyle M=NmL(\xi )}${\displaystyle M=NmL(\xi )}

${\displaystyle N}${\displaystyle N} steht dabei für die Stoffmenge und ${\displaystyle m}${\displaystyle m} für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

${\displaystyle L(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{\pi ^{2}n^{2}+x^{2}}}}${\displaystyle L(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{\pi ^{2}n^{2}+x^{2}}}}

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}={\frac {\pi L(\pi )}{2}}}${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}={\frac {\pi L(\pi )}{2}}}

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+x^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\pi L(\pi x)}{2x}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+x^{2}}}=\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\pi L(\pi x)}{2x}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Dieser Wert ist beim sogenannten Basler Problem die Lösung.

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

${\displaystyle L(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2(-1)^{n+1}\pi ^{-2n}\zeta (2n)x^{2n-1}={\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}+{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}+\cdots }${\displaystyle L(x)=\sum _{n=1}^{\infty }2(-1)^{n+1}\pi ^{-2n}\zeta (2n)x^{2n-1}={\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}+{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}+\cdots }

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

${\displaystyle L(x)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }(4n+6)(-1)^{n+1}\pi ^{-2n-2}\zeta (2n+2)x^{2n}={\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {2}{135}}x^{4}+{\frac {1}{525}}x^{6}-{\frac {2}{8505}}x^{8}+\cdots }${\displaystyle L(x)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }(4n+6)(-1)^{n+1}\pi ^{-2n-2}\zeta (2n+2)x^{2n}={\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {2}{135}}x^{4}+{\frac {1}{525}}x^{6}-{\frac {2}{8505}}x^{8}+\cdots }

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung^[1] der Langevin-Funktion für ${\displaystyle |x|\ll 1}${\displaystyle |x|\ll 1} ist

${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}\approx {\frac {x}{3}}}${\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}\approx {\frac {x}{3}}}.

Für ${\displaystyle x\gg 1}${\displaystyle x\gg 1} gilt die Näherung^[1]

${\displaystyle L(x)\approx 1-{\frac {1}{x}}}${\displaystyle L(x)\approx 1-{\frac {1}{x}}}.

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.

Eine verbreitete Näherung, die im Intervall ${\displaystyle (-1,1)}${\displaystyle (-1,1)} gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:^[2]

${\displaystyle L^{\langle -1\rangle }(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}}${\displaystyle L^{\langle -1\rangle }(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}}

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um ${\displaystyle |x|=0{,}8}${\displaystyle |x|=0{,}8}. Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.^{[3] [4]}

Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgt^[5] und hat den Konvergenzradius 1:

${\displaystyle L^{\langle -1\rangle }(x)\approx 3x+{\frac {9}{5}}x^{3}+{\frac {297}{175}}x^{5}+{\frac {1539}{875}}x^{7}+\dotsb }${\displaystyle L^{\langle -1\rangle }(x)\approx 3x+{\frac {9}{5}}x^{3}+{\frac {297}{175}}x^{5}+{\frac {1539}{875}}x^{7}+\dotsb }

• Langevin-Gleichung
• Brillouin-Funktion

1. ↑ ^{a b c} Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293. 
2. ↑ A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta . 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640 . 
3. ↑ R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics . 249. Jahrgang, 2017, S. 8–25, doi:10.1016/j.jnnfm.201709003 . 
4. ↑ M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics . 223. Jahrgang, 2015, S. 77–87, doi:10.1016/j.jnnfm.201505007 . 
5. ↑ Laurence A. Belfiore: Physical Properties of Macromolecules. John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0-470-55158-5, S. 277 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

• Mathematische Funktion
• Statistische Physik

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