Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte ${\displaystyle {\mathcal {L}}}${\displaystyle {\mathcal {L}}} (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion ${\displaystyle L}${\displaystyle L} in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:

${\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint \mathrm {d} x,円\mathrm {d} y,円\mathrm {d} z,円{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)}${\displaystyle L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint \mathrm {d} x,円\mathrm {d} y,円\mathrm {d} z,円{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)}

mit dem betrachteten Feld ${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}${\displaystyle \phi (x,y,z,t)}.

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0}${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0}.

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]}${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]}

In diesem Beispiel bedeuten:

${\displaystyle \phi =\phi (x,t)}${\displaystyle \phi =\phi (x,t)} die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

${\displaystyle \mu }${\displaystyle \mu } die lineare Massendichte

${\displaystyle E}${\displaystyle E} den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0}${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0}

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

${\displaystyle E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0}${\displaystyle E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0}

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x,円{\sqrt {-g}},円{\mathcal {L}}}${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x,円{\sqrt {-g}},円{\mathcal {L}}}

definiert, wobei ${\displaystyle g}${\displaystyle g} die Determinante des metrischen Tensors ist.^[1] Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

${\displaystyle {\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu })}${\displaystyle {\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu })} mit ${\displaystyle x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu }}${\displaystyle x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu }}, wobei ${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }}${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }} der Lorentz-Transformationstensor ist.

• Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.

1. ↑ Clinton L. Lewis: Explicit gauge covariant Euler–Lagrange equation. In: American Journal of Physics. Band 77, 2009, S. 839, doi:10.1119/1.3153503 . 

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