L-Unverfälschtheit

Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Gegeben seien ein statistisches Modell ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })} sowie eine Verlustfunktion ${\displaystyle L(\cdot ;\cdot )}${\displaystyle L(\cdot ;\cdot )}. Es sei

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)=\int _{X}L(g(\vartheta );S)\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)=\int _{X}L(g(\vartheta );S)\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}}

das Risiko des Punktschätzers ${\displaystyle S}${\displaystyle S} an der Stelle ${\displaystyle \vartheta }${\displaystyle \vartheta }, gemessen bezüglich ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}

Dann heißt ein Schätzer ${\displaystyle S}${\displaystyle S} L-unverfälscht, wenn für alle ${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta }${\displaystyle \vartheta _{0}\in \Theta } gilt:

${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta _{0},S)\leq R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)}${\displaystyle R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta _{0},S)\leq R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)}   für alle   ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }${\displaystyle \vartheta \in \Theta }.

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit ${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}${\displaystyle P_{\vartheta _{0}}}, näher an dem Wert ${\displaystyle g(\vartheta _{0})}${\displaystyle g(\vartheta _{0})} als an jedem weiteren Wert ${\displaystyle g(\vartheta )}${\displaystyle g(\vartheta )}.

Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

${\displaystyle L(\vartheta ;a)=(g(\vartheta )-a)^{2}}${\displaystyle L(\vartheta ;a)=(g(\vartheta )-a)^{2}},

so ist ${\displaystyle S\in L^{2}((P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}${\displaystyle S\in L^{2}((P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })} (siehe L^p-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn ${\displaystyle S}${\displaystyle S} ein erwartungstreuer Schätzer für ${\displaystyle g}${\displaystyle g} ist.

Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

${\displaystyle L(\vartheta ;a)=|g(\vartheta )-a|}${\displaystyle L(\vartheta ;a)=|g(\vartheta )-a|},

so ist ${\displaystyle S}${\displaystyle S} genau dann L-unverfälscht, wenn ${\displaystyle S}${\displaystyle S} Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }${\displaystyle \vartheta \in \Theta }

${\displaystyle P_{\vartheta }(S\geq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}${\displaystyle P_{\vartheta }(S\geq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}   und   ${\displaystyle P_{\vartheta }(S\leq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}${\displaystyle P_{\vartheta }(S\leq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}}.

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3 . 

• Schätztheorie