Kugelschicht

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Eine Kugelschicht, auch Kugelscheibe genannt, ist ein Teil einer Kugel, der von zwei parallelen Ebenen ausgeschnitten wird. Der gekrümmte Flächenteil wird Kugelzone genannt.

Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche einer Kugelschicht gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet r {\displaystyle r} {\displaystyle r} den Radius der Kugel, a 1 , a 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} {\displaystyle a_{1},a_{2}} die Radien der Begrenzungskreise und h {\displaystyle h} {\displaystyle h} die Höhe der Kugelschicht.

Die Höhe kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

h = r 2 − a 2 2 ± r 2 − a 1 2 {\displaystyle h={\sqrt {r^{2}-a_{2}^{2}}}\pm {\sqrt {r^{2}-a_{1}^{2}}}} {\displaystyle h={\sqrt {r^{2}-a_{2}^{2}}}\pm {\sqrt {r^{2}-a_{1}^{2}}}}

Hierbei gilt das Minuszeichen für eine Kugelschicht ohne Kugelmittelpunkt und das Pluszeichen für eine Kugelschicht mit Kugelmittelpunkt.

Der Radius ergibt sich wie folgt:

r = 1 2 h ( a 1 2 + a 2 2 + h 2 ) 2 − 4 a 1 2 a 2 2 = 1 2 h a 1 4 + a 2 4 + h 4 − 2 a 1 2 a 2 2 + 2 a 1 2 h 2 + 2 a 2 2 h 2 {\displaystyle r={\frac {1}{2h}}{\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h^{2})^{2}-4a_{1}^{2}a_{2}^{2}}}={\frac {1}{2h}}{\sqrt {a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+h^{4}-2a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}h^{2}+2a_{2}^{2}h^{2}}}} {\displaystyle r={\frac {1}{2h}}{\sqrt {(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h^{2})^{2}-4a_{1}^{2}a_{2}^{2}}}={\frac {1}{2h}}{\sqrt {a_{1}^{4}+a_{2}^{4}+h^{4}-2a_{1}^{2}a_{2}^{2}+2a_{1}^{2}h^{2}+2a_{2}^{2}h^{2}}}}
Volumen V = π 6 ⋅ h ⋅ ( 3 ⋅ a 1 2 + 3 ⋅ a 2 2 + h 2 ) {\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})} {\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}
Inhalt der Mantelfläche M = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ h ⋅ a 1 2 + ( a 1 2 − a 2 2 − h 2 2 ⋅ h ) 2 {\displaystyle M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h=2\cdot \pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}} {\displaystyle M=2\cdot \pi \cdot r\cdot h=2\cdot \pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}}
Oberfläche O = M + A Kreis 1 + A Kreis 2 = π ⋅ ( 2 ⋅ r ⋅ h + a 1 2 + a 2 2 ) = 2 π ⋅ h ⋅ a 1 2 + ( a 1 2 − a 2 2 − h 2 2 ⋅ h ) 2 + π ( a 1 2 + a 2 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}O&=M+A_{{\text{Kreis}},1円}+A_{{\text{Kreis}},2円}\\&=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\\&=2\pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}+\pi (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}O&=M+A_{{\text{Kreis}},1円}+A_{{\text{Kreis}},2円}\\&=\pi \cdot (2\cdot r\cdot h+a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\\&=2\pi \cdot h\cdot {\sqrt {a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}}+\pi (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\end{aligned}}}

Die Kugelschicht kann man sich entstanden denken als das Kugelsegment S 1 {\displaystyle S_{1}} {\displaystyle S_{1}} mit dem unteren Kreis als Basiskreis, dem das Kugelsegment S 2 {\displaystyle S_{2}} {\displaystyle S_{2}} mit dem oberen Kreis als Basiskreis weggenommen wird. Es sei h 1 {\displaystyle h_{1}} {\displaystyle h_{1}} die Höhe von S 1 {\displaystyle S_{1}} {\displaystyle S_{1}} und h 2 {\displaystyle h_{2}} {\displaystyle h_{2}} die Höhe von S 2 {\displaystyle S_{2}} {\displaystyle S_{2}}. Die Volumina der beiden Kugelsegmente sind

V 1 = π 3 ⋅ h 1 2 ⋅ ( 3 ⋅ r − h 1 ) {\displaystyle V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1})} {\displaystyle V_{1}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{1}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{1})}
V 2 = π 3 ⋅ h 2 2 ⋅ ( 3 ⋅ r − h 2 ) {\displaystyle V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})} {\displaystyle V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot h_{2}^{2}\cdot (3\cdot r-h_{2})}

Siehe dazu auch Kugelsegment. Also ist

V = V 1 − V 2 = π 3 ⋅ ( 3 ⋅ ( h 1 2 − h 2 2 ) ⋅ r − ( h 1 3 − h 2 3 ) ) = π 3 ⋅ ( h 1 − h 2 ) ⋅ ( 3 ⋅ ( h 1 + h 2 ) ⋅ r − ( h 1 2 + h 1 ⋅ h 2 + h 2 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{1}-V_{2}={\frac {\pi }{3}}\cdot (3\cdot (h_{1}^{2}-h_{2}^{2})\cdot r-(h_{1}^{3}-h_{2}^{3}))\\&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (h_{1}+h_{2})\cdot r-(h_{1}^{2}+h_{1}\cdot h_{2}+h_{2}^{2}))\end{aligned}}}

Mit den Beziehungen 2 ⋅ r ⋅ h 1 = a 1 2 + h 1 2 ,   2 ⋅ r ⋅ h 2 = a 2 2 + h 2 2 {\displaystyle 2\cdot r\cdot h_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2\cdot r\cdot h_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2}} {\displaystyle 2\cdot r\cdot h_{1}=a_{1}^{2}+h_{1}^{2},\ 2\cdot r\cdot h_{2}=a_{2}^{2}+h_{2}^{2}} (siehe Kugelsegment) ergibt sich

V = π 3 ⋅ ( h 1 − h 2 ) ⋅ ( 3 2 ⋅ ( a 1 2 + h 1 2 + a 2 2 + h 2 2 ) − h 1 2 − h 1 ⋅ h 2 − h 2 2 ) = π 6 ⋅ ( h 1 − h 2 ) ⋅ ( 3 ⋅ ( a 1 2 + a 2 2 ) + ( h 1 − h 2 ) 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi }{3}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot \left({\frac {3}{2}}\cdot (a_{1}^{2}+h_{1}^{2}+a_{2}^{2}+h_{2}^{2})-h_{1}^{2}-h_{1}\cdot h_{2}-h_{2}^{2}\right)\\&={\frac {\pi }{6}}\cdot (h_{1}-h_{2})\cdot (3\cdot (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(h_{1}-h_{2})^{2})\end{aligned}}}

Da h = h 1 − h 2 {\displaystyle h=h_{1}-h_{2}} {\displaystyle h=h_{1}-h_{2}} ist, folgt die obige Formel: V = π 6 ⋅ h ⋅ ( 3 ⋅ a 1 2 + 3 ⋅ a 2 2 + h 2 ) {\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})} {\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}\cdot h\cdot (3\cdot a_{1}^{2}+3\cdot a_{2}^{2}+h^{2})}

Für die Mantelfläche ergibt sich analog

M = M 1 − M 2 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h 1 − 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h 2 = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ( h 1 − h 2 ) = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h {\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h} {\displaystyle M=M_{1}-M_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{1}-2\cdot \pi \cdot r\cdot h_{2}=2\cdot \pi \cdot r\cdot (h_{1}-h_{2})=2\cdot \pi \cdot r\cdot h}

Beziehung der Parameter

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Für den Beweis der Beziehung zwischen r , a 1 , a 2 , h {\displaystyle r,a_{1},a_{2},h} {\displaystyle r,a_{1},a_{2},h} sei d {\displaystyle d} {\displaystyle d} der Abstand der unteren Ebene zum Kugelmittelpunkt M {\displaystyle M} {\displaystyle M}. Dann gilt

r 2 = d 2 + a 1 2 ,   r 2 = ( d + h ) 2 + a 2 2 {\displaystyle r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}} {\displaystyle r^{2}=d^{2}+a_{1}^{2},\ r^{2}=(d+h)^{2}+a_{2}^{2}}

Setzt man die beiden Gleichungen gleich und löst nach d {\displaystyle d} {\displaystyle d} auf, so erhält man

d = a 1 2 − a 2 2 − h 2 2 ⋅ h {\displaystyle d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}} {\displaystyle d={\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}},

und mit der ersten Gleichung folgt

r 2 = a 1 2 + ( a 1 2 − a 2 2 − h 2 2 ⋅ h ) 2 {\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}} {\displaystyle r^{2}=a_{1}^{2}+\left({\frac {a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-h^{2}}{2\cdot h}}\right)^{2}}
  • I. Bronstein u. a.: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, Frankfurt 2001, ISBN 3-8171-2005-2.
  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.
  • L. Kusch u. a.: Mathematik, Teil 4 Integralrechnung. Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-41304-7.
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