Krulltopologie

Die Krulltopologie, nach Wolfgang Krull, ist eine Topologie auf der Galoisgruppe einer nicht notwendigerweise endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}${\displaystyle L/K}, so dass diese zu einer so genannten topologischen Gruppe wird.

Es sei ${\displaystyle L/K}${\displaystyle L/K} eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen galoisschen Teilerweiterung ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} auch die normale Hülle von ${\displaystyle M}${\displaystyle M} enthält.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Krulltopologie zu definieren:

1. Man definiert die Umgebungsbasis des neutralen Elements als die Menge

${\displaystyle \{G(L/M)\mid K\subseteq M\subseteq L,\ [M:K]<\infty \}}${\displaystyle \{G(L/M)\mid K\subseteq M\subseteq L,\ [M:K]<\infty \}}

der Galoisgruppen für über ${\displaystyle K}${\displaystyle K} endliche Teilerweiterungen ${\displaystyle M}${\displaystyle M}.^[1]

2. Es gibt eine kanonische Bijektion

${\displaystyle G(L/K)=\lim _{M}G(M/K),}${\displaystyle G(L/K)=\lim _{M}G(M/K),}

wobei ${\displaystyle M}${\displaystyle M} alle über ${\displaystyle K}${\displaystyle K} endlichen Teilerweiterungen ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} durchläuft. Versieht man die endlichen Gruppen ${\displaystyle G(M/K)}${\displaystyle G(M/K)} mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes mit der Limestopologie, so erhält man dieselbe Topologie wie unter 1. Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass ${\displaystyle G(L/K)}${\displaystyle G(L/K)} eine proendliche Gruppe ist.

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist ${\displaystyle L/K}${\displaystyle L/K} eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L} und abgeschlossenen Untergruppen von ${\displaystyle G(L/K)}${\displaystyle G(L/K)}: Einer Erweiterung ${\displaystyle M}${\displaystyle M} entspricht die Untergruppe

${\displaystyle G(L/M)\subseteq G(L/K),}${\displaystyle G(L/M)\subseteq G(L/K),}

einer Untergruppe ${\displaystyle U\subseteq G(L/K)}${\displaystyle U\subseteq G(L/K)} die Erweiterung

${\displaystyle L^{U}=\{x\in L\mid \sigma x=x\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ \sigma \in U\}.}${\displaystyle L^{U}=\{x\in L\mid \sigma x=x\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ \sigma \in U\}.}

Eine Teilerweiterung ${\displaystyle M/K}${\displaystyle M/K} ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn ${\displaystyle G(L/M)}${\displaystyle G(L/M)} ein Normalteiler in ${\displaystyle G(L/K)}${\displaystyle G(L/K)} ist; die Galoisgruppe ${\displaystyle G(M/K)}${\displaystyle G(M/K)} ist kanonisch isomorph zum Quotienten ${\displaystyle G(L/K)/G(L/M)}${\displaystyle G(L/K)/G(L/M)}.

Es sei ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ein Körper und ${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }}${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }} ein separabler Abschluss von ${\displaystyle K}${\displaystyle K}. Weiter sei ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}${\displaystyle \mathrm {GL} (V)} mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von ${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)}${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)} auf ${\displaystyle V}${\displaystyle V} genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten ${\displaystyle G(M/K)}${\displaystyle G(M/K)} für eine endliche Erweiterung ${\displaystyle M/K}${\displaystyle M/K} faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von ${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)}${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)} ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen ${\displaystyle G(M/K)}${\displaystyle G(M/K)} für endliche Erweiterungen ${\displaystyle M/K}${\displaystyle M/K}.

Es sei ${\displaystyle L/K}${\displaystyle L/K} eine beliebige Körpererweiterung. Die Krulltopologie auf der Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)} der Körperautomorphismen von ${\displaystyle L}${\displaystyle L}, die ${\displaystyle K}${\displaystyle K} elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

${\displaystyle G(S)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} (L/K)\mid \sigma s=s\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ s\in S\}}${\displaystyle G(S)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} (L/K)\mid \sigma s=s\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ s\in S\}}

für endliche Teilmengen ${\displaystyle S\subseteq L}${\displaystyle S\subseteq L} eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)} wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.

1. ↑ Ina Kersten: Brauergruppen. Universitätsdrucke Göttingen, 2007, ISBN 978-3-938616-89-5, §15.2 (Online [abgerufen am 26. Januar 2017]). 

• Körpertheorie
• Wolfgang Krull als Namensgeber