Kranzprodukt

Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

Sind ${\displaystyle G}${\displaystyle G} und ${\displaystyle J}${\displaystyle J} Gruppen und operiert ${\displaystyle J}${\displaystyle J} auf einer Menge ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y}, so wird dadurch eine Operation von ${\displaystyle J}${\displaystyle J} auf ${\displaystyle G^{Y}}${\displaystyle G^{Y}} (der Gruppe aller Abbildungen von ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} nach ${\displaystyle G}${\displaystyle G} mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:

${\displaystyle \forall j\in J,f\in G^{Y}:(^{j}f)(y)=f(^{j^{-1}}y)}${\displaystyle \forall j\in J,f\in G^{Y}:(^{j}f)(y)=f(^{j^{-1}}y)}

Jedes ${\displaystyle j\in J}${\displaystyle j\in J} definiert auf diese Weise einen Automorphismus von ${\displaystyle G^{Y}}${\displaystyle G^{Y}}.

Somit kann das Kranzprodukt ${\displaystyle G\wr _{Y}J}${\displaystyle G\wr _{Y}J} als das semidirekte Produkt aus ${\displaystyle G^{Y}}${\displaystyle G^{Y}} und ${\displaystyle J}${\displaystyle J} bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von ${\displaystyle Y}${\displaystyle Y} nach ${\displaystyle G}${\displaystyle G} nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: ${\displaystyle \left|G\wr _{Y}J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot \left|J\right|}${\displaystyle \left|G\wr _{Y}J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot \left|J\right|}

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt ${\displaystyle G\wr _{J}J}${\displaystyle G\wr _{J}J} definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge ${\displaystyle \{1,...,n\}}${\displaystyle \{1,...,n\}} festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von ${\displaystyle G\wr _{Y}J}${\displaystyle G\wr _{Y}J} auf ${\displaystyle X\times Y}${\displaystyle X\times Y} induziert:

${\displaystyle \forall (x,y)\in X\times Y,(f,j)\in G\wr _{Y}J:^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^{j}y)}x,^{j}y)}${\displaystyle \forall (x,y)\in X\times Y,(f,j)\in G\wr _{Y}J:^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^{j}y)}x,^{j}y)}

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv, wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

${\displaystyle 1\longrightarrow N\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota }\ ,円H\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi }\ ,円Q\longrightarrow 1}${\displaystyle 1\longrightarrow N\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota }\ ,円H\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi }\ ,円Q\longrightarrow 1}

Außerdem sei eine Abbildung ${\displaystyle q\colon H\to H}${\displaystyle q\colon H\to H} gegeben, die ${\displaystyle \forall g\in H:q(g)\iota (N)=g\iota (N)}${\displaystyle \forall g\in H:q(g)\iota (N)=g\iota (N)} erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten ${\displaystyle \forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}}${\displaystyle \forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}}. (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung ${\displaystyle \phi \colon H\hookrightarrow N\wr _{Q}Q}${\displaystyle \phi \colon H\hookrightarrow N\wr _{Q}Q} (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

${\displaystyle \phi (h):=(\sigma _{h},\pi (h)),円}${\displaystyle \phi (h):=(\sigma _{h},\pi (h)),円}

Hierbei ist ${\displaystyle \sigma _{h}\colon Q\to N}${\displaystyle \sigma _{h}\colon Q\to N} wie folgt definiert:

${\displaystyle \sigma _{h}(yN):=\iota ^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))}${\displaystyle \sigma _{h}(yN):=\iota ^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))}

Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.^[1]

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}${\displaystyle S_{n}} lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch ${\displaystyle W_{p,0}:=\{1\}}${\displaystyle W_{p,0}:=\{1\}} und ${\displaystyle W_{p,n+1}:=W_{p,n}\wr _{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Z} _{p}}${\displaystyle W_{p,n+1}:=W_{p,n}\wr _{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Z} _{p}}, wobei die Operation von ${\displaystyle J=\mathbb {Z} _{p}}${\displaystyle J=\mathbb {Z} _{p}} auf ${\displaystyle Y=\mathbb {Z} _{p}}${\displaystyle Y=\mathbb {Z} _{p}} durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{c_{i}p^{i}}}${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{c_{i}p^{i}}} mit ${\displaystyle c_{i}\in \{0,...,p-1\}}${\displaystyle c_{i}\in \{0,...,p-1\}}, so sind die p-Sylow-Gruppen von ${\displaystyle S_{n}}${\displaystyle S_{n}} dann isomorph zu ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_{i}}}}${\displaystyle \prod _{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_{i}}}}

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240^[2] , in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.

• John D. P. Meldrum: Wreath Products of Groups and Semigroups. Chapman & Hall/CRC, 1995, ISBN 978-0-582-02693-3. 

1. ↑ "Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes", L. Kaloujnine, M. Krasner - I, Acta Sci. Math. Szeged, 1950
2. ↑ Unicode Character 'WREATH PRODUCT' (U+2240), fileformat.info

• Gruppentheorie

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