Komplexe Fläche

In der Mathematik sind komplexe Flächen lokal nach ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} modellierte ${\displaystyle 4}${\displaystyle 4}-dimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel holomorph sind.

Eine projektive analytische Fläche ist eine komplexe Fläche, die in einen komplex-projektiven Raum eingebettet werden kann. Eine komplexe algebraische Fläche ist eine komplexe Fläche, die durch polynomielle Gleichungen in einem komplex-projektiven Raum definiert wird. Nach dem Satz von Chow sind alle projektiven analytischen Flächen algebraisch. Die Hopf-Fläche ist ein Beispiel einer komplexen Fläche, die nicht projektiv analytisch ist.

Eine irreduzible Kurve auf einer komplexen Fläche ist eine (evtl. singuläre) geschlossene, komplex ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1}-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die nicht als Vereinigung zweier solcher Untermannigfaltigkeiten zerlegt werden kann. Nach dem Satz von Lefschetz über ${\displaystyle (1,1)}${\displaystyle (1,1)}-Klassen ist eine Kohomologieklasse in ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )}${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )} genau dann eine ganzzahlige Linearkombination von Kurven, wenn sie zu ${\displaystyle H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )}${\displaystyle H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )} gehört.

Für nichtsinguläre Kurven ${\displaystyle C}${\displaystyle C} gilt die Adjunktionsformel ${\displaystyle \chi (C)+C\cdot C=-K_{M}\cdot C}${\displaystyle \chi (C)+C\cdot C=-K_{M}\cdot C}.

Jede Klasse in ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )}${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )} entspricht einem glatten komplexen Geradenbündel, aber nur Klassen in ${\displaystyle H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )}${\displaystyle H^{1,1}(M)\cap H^{2}(M;\mathbb {Z} )} sind Chern-Klassen holomorpher Geradenbündel. Wenn ${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {Z} )=0}${\displaystyle H^{1}(M;\mathbb {Z} )=0} ist, dann ist die Isomorphieklasse eines holomorphen Geradenbündels durch seine Chern-Klasse festgelegt.

Für einen meromorphen Schnitt ${\displaystyle f}${\displaystyle f} bezeichnen ${\displaystyle N(f)}${\displaystyle N(f)} und ${\displaystyle P(f)}${\displaystyle P(f)} die aus den Null- bzw. Polstellen bestehenden Kurven, dann repräsentiert die Linearkombination ${\displaystyle N(f)-P(f)}${\displaystyle N(f)-P(f)} die Chern-Klasse des Geradenbündels. Das holomorphe Geradenbündel hat genau dann einen holomorphen Schnitt, wenn die Chern-Klasse eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten aus Kurven in der Fläche ist. Die Dimension des Raums der holomorphen Schnitte lässt mit dem Satz von Riemann-Roch abschätzen.

Für das kanonische Bündel einer komplexen Fläche folgt aus dem Signatursatz von Hirzebruch ${\displaystyle K_{M}\cdot K_{M}=3sign(M)+2\chi (M)}${\displaystyle K_{M}\cdot K_{M}=3sign(M)+2\chi (M)}.

Ein Geradenbündel ${\displaystyle L}${\displaystyle L} heißt nef („numerically eventually free"), wenn ${\displaystyle L\cdot C\geq 0}${\displaystyle L\cdot C\geq 0} für alle Kurven ${\displaystyle C}${\displaystyle C} gilt.

Sei ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine einfach zusammenhängende komplexe Fläche. Dann gibt es eine Folge von Blow-Downs ${\displaystyle M\to M_{1}\to \ldots \to M_{n}}${\displaystyle M\to M_{1}\to \ldots \to M_{n}} so dass entweder

• ${\displaystyle K_{M_{n}}}${\displaystyle K_{M_{n}}} ist nef (in diesem Fall heißt ${\displaystyle M_{n}}${\displaystyle M_{n}} das minimale Modell von ${\displaystyle M}${\displaystyle M}), oder
• ${\displaystyle M_{n}}${\displaystyle M_{n}} ist ein ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}-Bündel über ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}} (in diesem Fall ist ${\displaystyle M_{n}}${\displaystyle M_{n}} eine Regelfläche), oder
• ${\displaystyle M_{n}=\mathbb {C} P^{2}}${\displaystyle M_{n}=\mathbb {C} P^{2}} (in diesem Fall ist ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine rationale Fläche).

Für die minimalen Modelle, also für einfach zusammenhängende komplexe Flächen, deren kanonisches Bündel nef ist, hat man:

• wenn ${\displaystyle K_{M}\cdot C=0}${\displaystyle K_{M}\cdot C=0} für jede Kurve ${\displaystyle C}${\displaystyle C} gilt, dann ist ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine K3-Fläche,
• wenn es eine Kurve mit ${\displaystyle K_{M}\cdot C>0}${\displaystyle K_{M}\cdot C>0} und ${\displaystyle K_{M}\cdot K_{M}=0}${\displaystyle K_{M}\cdot K_{M}=0} gibt, dann ist ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine elliptische Fläche,
• andernfalls heißt ${\displaystyle M}${\displaystyle M} Fläche allgemeinen Typs.

• A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2005, ISBN 0-8218-3749-4/hbk

• Komplexe Mannigfaltigkeit