Kollineare Punkte

Kollinearität ist ein mathematischer Begriff, der in der Geometrie und in der linearen Algebra verwendet wird.^[1] Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es immer eindeutig eine Gerade, auf der sie liegen. In der Geometrie nennt man verschiedene Punkte, die auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kollinear.^[2] Das Adjektiv „kollinear" lässt sich vom lateinischen Verb collineare („geradeaus zielen") ableiten. Die Kollinearität von Punkten spielt sowohl in der affinen Geometrie als auch in der projektiven Geometrie eine wichtige Rolle, da sie invariant unter bestimmten, als Kollineationen bezeichneten Abbildungen ist.^[3]

Beispiele aus der euklidischen Geometrie:

• Der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks sind kollinear, da sie auf der eulerschen Geraden liegen.
• Der Gergonne-Punkt, der Schwerpunkt und der Mittenpunkt eines Dreiecks sind kollinear.
• Der Satz von Menelaos liefert ein Kriterium dafür, dass drei Punkte auf den (verlängerten) Seiten eines Dreiecks kollinear sind.

Eine Menge von Punkten eines affinen Raumes ist genau dann kollinear, wenn der Vektorraum, der von den Verbindungsvektoren dieser Punkte aufgespannt wird, höchstens die Dimension 1 hat.

Drei Punkte ${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}, ${\displaystyle P_{2}(x_{2},y_{2})}${\displaystyle P_{2}(x_{2},y_{2})} und ${\displaystyle P_{3}(x_{3},y_{3})}${\displaystyle P_{3}(x_{3},y_{3})} der Ebene sind genau dann kollinear, wenn

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}=0}${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}=0}

gilt.^[4] (Der Rechenausdruck links vom ersten Gleichheitszeichen ist eine Determinante.)

In der linearen Algebra bedeutet Kollinearität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension 1 hat. Betrachtet man zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, dann ist Kollinearität gleichbedeutend damit, dass anschaulich jeder der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist, mathematisch präziser, dass jeder der beiden Vektoren durch Multiplikation mit einem Skalar, d. h. einer von Null verschiedenen (richtungslosen) Zahl ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} \setminus \{0\}}, in den jeweils anderen Vektor überführt werden kann. Beide Vektoren sind damit gemäß folgender Gleichung linear abhängig:

${\displaystyle {\vec {a}}=\beta \cdot {\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {a}}-\beta \cdot {\vec {b}}={\vec {0}}}${\displaystyle {\vec {a}}=\beta \cdot {\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {a}}-\beta \cdot {\vec {b}}={\vec {0}}}

Lässt man die beiden Vektoren am Koordinatenursprung beginnen, liegen beide auf einer Geraden, zeigen also beide in dieselbe (oder die exakt entgegengesetzte) Richtung und haben dabei im Allgemeinen verschiedene Längen.

Kollinearitätsuntersuchungen werden häufig bei der Untersuchung der Lagebeziehungen zwischen mehreren Geraden durchgeführt. Geraden mit kollinearen Richtungsvektoren sind entweder identisch oder „echt" parallel.^[5]

• Komplanarität
• Multikollinearität

• Eric W. Weisstein: Collinear. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 69. 
2. ↑ Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-06-001173-7, S. 70. 
3. ↑ Horst Tietz: Lineare Geometrie. Vandenhoeck&Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03408-3, S. 204. 
4. ↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 200. 
5. ↑ H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 69 - 73. 

• Lineare Algebra
• Analytische Geometrie