Koeffizientenvergleich

Der Koeffizientenvergleich ist ein Verfahren aus der linearen Algebra, bei dem die Koeffizienten von zwei Linearkombinationen einer linear unabhängigen Teilmenge eines Vektorraums verglichen werden. Häufig verwendet wird ein Polynomraum als Vektorraum mit Monomen als linear unabhängige Teilmenge, zum Beispiel bei der Partialbruchzerlegung. Man verwendet dabei die Tatsache, dass zwei Linearkombinationen derselben linear unabhängigen Teilmenge genau dann gleich sind, wenn die entsprechenden Koeffizienten gleich sind.

Zwei Polynome

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+\dotsb +a_{n}\cdot x^{n}}${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}\cdot x+a_{2}\cdot x^{2}+\dotsb +a_{n}\cdot x^{n}}

und

${\displaystyle Q(x)=b_{0}+b_{1}\cdot x+b_{2}\cdot x^{2}+\dotsb +b_{n}\cdot x^{n}}${\displaystyle Q(x)=b_{0}+b_{1}\cdot x+b_{2}\cdot x^{2}+\dotsb +b_{n}\cdot x^{n}}

sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen:

${\displaystyle a_{0}=b_{0},a_{1}=b_{1},\dotsc ,a_{n}=b_{n}.}${\displaystyle a_{0}=b_{0},a_{1}=b_{1},\dotsc ,a_{n}=b_{n}.}

Es sind die beiden Polynome ${\displaystyle P(x)=a\cdot x+2a+b}${\displaystyle P(x)=a\cdot x+2a+b} und ${\displaystyle Q(x)=2x+1}${\displaystyle Q(x)=2x+1} gegeben. Für welche Werte von ${\displaystyle a}${\displaystyle a} und ${\displaystyle b}${\displaystyle b} sind die beiden Polynome gleich?

Gelten muss:

1. ${\displaystyle P(x)=Q(x)}${\displaystyle P(x)=Q(x)}
2. ${\displaystyle ax+2a+b=2x+1}${\displaystyle ax+2a+b=2x+1}

Also wird verglichen:

1. ${\displaystyle ax=2x}${\displaystyle ax=2x} (Vergleich der Koeffizienten von ${\displaystyle x^{1}}${\displaystyle x^{1}})
2. ${\displaystyle 2a+b=1}${\displaystyle 2a+b=1} (Vergleich der Koeffizienten von ${\displaystyle x^{0}}${\displaystyle x^{0}})

Lösung: ${\displaystyle a=2}${\displaystyle a=2} und ${\displaystyle b=-3}${\displaystyle b=-3}

${\displaystyle (-a-8b)\cdot \sin(2x)+(-b+8a)\cdot \cos(2x)=130\cdot \sin(2x)}${\displaystyle (-a-8b)\cdot \sin(2x)+(-b+8a)\cdot \cos(2x)=130\cdot \sin(2x)}
Verglichen werden:

1. ${\displaystyle -a-8b=130}${\displaystyle -a-8b=130} (Vergleich der Koeffizienten von ${\displaystyle \sin(2x)}${\displaystyle \sin(2x)})
2. ${\displaystyle -b+8a=0}${\displaystyle -b+8a=0} (Vergleich der Koeffizienten von ${\displaystyle \cos(2x)}${\displaystyle \cos(2x)})

Lösung: ${\displaystyle a=-2}${\displaystyle a=-2}; ${\displaystyle b=-16}${\displaystyle b=-16}

• Identitätssatz für Potenzreihen

• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 3 (Inp-Mon). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53501-1, S. 131, doi:10.1007/978-3-662-53502-8 . 

• Lineare Algebra