Kodimension

Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich ${\displaystyle n.}${\displaystyle n.} Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Gerade (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.

Ist ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist ${\displaystyle U}${\displaystyle U} ein Untervektorraum von ${\displaystyle V}${\displaystyle V}, dann wird die Kodimension von ${\displaystyle U}${\displaystyle U} in ${\displaystyle V}${\displaystyle V} durch

${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim(V/U),}${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim(V/U),}

also als die Dimension des Faktorraums ${\displaystyle V/U}${\displaystyle V/U}, definiert.

• Es gilt stets

${\displaystyle \dim U+\operatorname {codim} (U,V)=\dim V.}${\displaystyle \dim U+\operatorname {codim} (U,V)=\dim V.}

Ist ${\displaystyle V}${\displaystyle V} endlichdimensional, so ist also

${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim V-\dim U.}${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim V-\dim U.}

• Ist ${\displaystyle W}${\displaystyle W} ein Komplementärraum von ${\displaystyle U}${\displaystyle U} in ${\displaystyle V}${\displaystyle V}, d. h. ${\displaystyle U\oplus W=V}${\displaystyle U\oplus W=V}, so ist

${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim W.}${\displaystyle \operatorname {codim} (U,V)=\dim W.}

• Sind ${\displaystyle U_{1},U_{2}\subseteq V}${\displaystyle U_{1},U_{2}\subseteq V} zwei Unterräume, so gilt stets

${\displaystyle \operatorname {codim} (U_{1}\cap U_{2},V)\leq \operatorname {codim} (U_{1},V)+\operatorname {codim} (U_{2},V).}${\displaystyle \operatorname {codim} (U_{1}\cap U_{2},V)\leq \operatorname {codim} (U_{1},V)+\operatorname {codim} (U_{2},V).}

• Sind ${\displaystyle U,W\subseteq V}${\displaystyle U,W\subseteq V} Unterräume, so gilt

${\displaystyle \operatorname {codim} (U\cap W,W)=\operatorname {codim} (U,U+W)\leq \operatorname {codim} (U,V).}${\displaystyle \operatorname {codim} (U\cap W,W)=\operatorname {codim} (U,U+W)\leq \operatorname {codim} (U,V).}

Eine Ebene hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer Geraden die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine Hyperebene hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.

• V. E. Govorov, A. F. Kharshiladze: Codimension. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

• Lineare Algebra