Klassifizierender Raum von O(n)

Der klassifizierende Raum ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}${\displaystyle \operatorname {BO} (n)} der ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-ten orthogonalen Lie-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)} klassifiziert ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Prinzipalbündel (auch ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Hauptfaserbündel genannt). Das bedeutet, dass ein ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Prinzipalbündel über einem parakompakten topologischen Raum eineindeutig einer Homotopieklasse einer stetigen Abbildung von diesem nach ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}${\displaystyle \operatorname {BO} (n)} entspricht. ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}${\displaystyle \operatorname {BO} (n)} ist selbst der Basisraum (eng. base space) eines ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Prinzipalbündels, woraus sich die Notation ergibt.

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}. Deren direkter Limes ist:^[1]

${\displaystyle \operatorname {BO} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k}).}${\displaystyle \operatorname {BO} (n):=\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k}).}

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {O} (n+k)/(\operatorname {O} (n)\times \operatorname {O} (k))}${\displaystyle \operatorname {Gr} _{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {O} (n+k)/(\operatorname {O} (n)\times \operatorname {O} (k))}

überträgt sich die Gruppenstruktur auf ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}.

Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum ${\displaystyle \operatorname {EO} (n)}${\displaystyle \operatorname {EO} (n)} der ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-ten orthogonalen Lie-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)} ist schwach zusammenziehbar ^[2] und verfügt über eine Gruppenwirkung von ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}, wobei der Orbitraum ${\displaystyle \operatorname {EO} (n)/\operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {EO} (n)/\operatorname {O} (n)} genau ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}${\displaystyle \operatorname {BO} (n)} ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Prinzipalbündel ${\displaystyle \operatorname {EO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (n),x\mapsto [x]}${\displaystyle \operatorname {EO} (n)\rightarrow \operatorname {BO} (n),x\mapsto [x]} mit Faser ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}, welches universelles ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum ${\displaystyle X}${\displaystyle X} lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung ${\displaystyle X\rightarrow \operatorname {BO} (n)}${\displaystyle X\rightarrow \operatorname {BO} (n)} erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)}-Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:^{[3] [4] [5]}

${\displaystyle \operatorname {Bund} _{\operatorname {O} (n)}(X):=\left\{\operatorname {O} (n){\text{-Prinzipalbündel über }}X\right\}/\sim _{\mathrm {iso} }\cong [X,\operatorname {BO} (n)].}${\displaystyle \operatorname {Bund} _{\operatorname {O} (n)}(X):=\left\{\operatorname {O} (n){\text{-Prinzipalbündel über }}X\right\}/\sim _{\mathrm {iso} }\cong [X,\operatorname {BO} (n)].}

Es ist ${\displaystyle \operatorname {O} (1)=\mathbb {Z} _{2}}${\displaystyle \operatorname {O} (1)=\mathbb {Z} _{2}}, wobei ${\displaystyle \operatorname {BO} (1)=\mathbb {R} P^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {R} P^{n}}${\displaystyle \operatorname {BO} (1)=\mathbb {R} P^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }\mathbb {R} P^{n}} der unendliche reelle projektive Raum ist und ${\displaystyle \operatorname {EO} (1)=S^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}}${\displaystyle \operatorname {EO} (1)=S^{\infty }=\lim _{n\rightarrow \infty }S^{n}} die ${\displaystyle \infty }${\displaystyle \infty }-Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{n+1}}${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{n+1}} beziehungsweise ${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}}${\displaystyle S^{n}\hookrightarrow S^{n+1}}. Erstaunlicherweise ist die ${\displaystyle \infty }${\displaystyle \infty }-Sphäre ${\displaystyle S^{\infty }}${\displaystyle S^{\infty }} wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar und sogar zusammenziehbar,^[6] obwohl keine der Sphären ${\displaystyle S^{n}}${\displaystyle S^{n}} (schwach) zusammenziehbar ist.

Für den Kohomologiering von ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)}${\displaystyle \operatorname {BO} (n)} gilt:^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].}${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{1},\ldots ,w_{n}].}

Die kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)}${\displaystyle \operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {O} (n+1)} induzieren kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)}${\displaystyle \operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} (n+1)} auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

${\displaystyle \operatorname {O} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)}${\displaystyle \operatorname {O} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {O} (n)}

${\displaystyle \operatorname {BO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BO} (n)}${\displaystyle \operatorname {BO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BO} (n)}

bezeichnet. ${\displaystyle \operatorname {BO} }${\displaystyle \operatorname {BO} } ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von ${\displaystyle \operatorname {O} }${\displaystyle \operatorname {O} }.

• Klassifizierende Räume
• Klassifizierender Raum von U(n)
• Klassifizierender Raum von SO(n)
• Klassifizierender Raum von SU(n)

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Princeton University Press, 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]). 
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 
• Stephen Mitchell: Universal principal bundles and classifying spaces. August 2001 (englisch, mit.edu [PDF]). 

• classifying space auf nLab (englisch)
• BO(n) auf nLab (englisch)

1. ↑ Mitchell 01, Seite 14
2. ↑ Krl. 2.13. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch). 
3. ↑ Allen Hatcher: Vector Bundles and K-theory. S. 29, Thrm. 1.16 (cornell.edu [PDF]). 
4. ↑ Prop. 2.16. Abgerufen am 13. Juni 2023 (englisch). 
5. ↑ stable unitary group. Abgerufen am 19. Februar 2024 (englisch). 
6. ↑ Hatcher 02, Aufgabe 16 auf Seite 19 (ohne Beweis)
7. ↑ Milnor & Stasheff, Theorem 7.1 auf Seite 83
8. ↑ Hatcher 02, Theorem 4D.4.
9. ↑ Stiefel-Whitney class. Abgerufen am 18. Februar 2024 (englisch). 

• Algebraische Topologie