Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} ein topologischer Raum, sei ${\displaystyle C_{n}(X)}${\displaystyle C_{n}(X)} die ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard-${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Simplexes ${\displaystyle \Delta ^{n}}${\displaystyle \Delta ^{n}} nach ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und ${\displaystyle C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )}${\displaystyle C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )}. Man bezeichne mit ${\displaystyle \iota _{0\ldots p}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{p+q}}${\displaystyle \iota _{0\ldots p}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{p+q}} beziehungsweise ${\displaystyle \iota _{p\ldots p+q}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{p+q}}${\displaystyle \iota _{p\ldots p+q}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{p+q}} die Inklusionen des Standard-${\displaystyle p}${\displaystyle p}- beziehungsweise ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-Simplexes als „vordere ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-dimensionale Seite" beziehungsweise „hintere ${\displaystyle q}${\displaystyle q}-dimensionale Seite" in den Standard-${\displaystyle (p+q)}${\displaystyle (p+q)}-Simplex.

Für ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X)}${\displaystyle \psi \in C^{q}(X)} und einen singulären Simplex ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X}${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X} (mit ${\displaystyle p\geq q}${\displaystyle p\geq q}) definiert man

${\displaystyle \sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}}${\displaystyle \sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}}

und setzt dies linear zu einer Abbildung

${\displaystyle C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)}${\displaystyle C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)}

fort.

Allgemeiner sei ${\displaystyle R}${\displaystyle R} ein Ring und sei ${\displaystyle C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)}${\displaystyle C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)}. Dann erhält man eine Abbildung

${\displaystyle C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)}${\displaystyle C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)}.

Aus der Relation

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )}${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )}

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

${\displaystyle H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}${\displaystyle H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}

definiert.

Für stetige Abbildungen ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}${\displaystyle f:X\rightarrow Y} gilt

${\displaystyle f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))}${\displaystyle f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))}

mit ${\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}${\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}, ${\displaystyle \psi \in C^{q}(Y;R)}${\displaystyle \psi \in C^{q}(Y;R)}.

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

${\displaystyle \psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)}${\displaystyle \psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)}

für ${\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}${\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}, ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}, ${\displaystyle \varphi \in C^{p-q}(X;R).}${\displaystyle \varphi \in C^{p-q}(X;R).}

Sei ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine geschlossene, orientierbare ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Mannigfaltigkeit und

${\displaystyle \left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )}${\displaystyle \left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )}

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit ${\displaystyle \left[M\right]}${\displaystyle \left[M\right]} einen Isomorphismus

${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}

für ${\displaystyle k=0,\ldots ,n}${\displaystyle k=0,\ldots ,n}.

• Glen Bredon: Topology and geometry. Corrected third printing of the 1993 original. Graduate Texts in Mathematics, 139. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0.
• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X

• Algebraische Topologie