Khovanov-Homologie

In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert": sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.

Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer") und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.

Die Khovanov-Klammer ${\displaystyle \left[L\right]}${\displaystyle \left[L\right]} von Diagrammen ${\displaystyle L}${\displaystyle L} wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt

• Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to 0}${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to 0}.
• ${\displaystyle \left[\bigcirc \sqcup L\right]=V\otimes \left[L\right]}${\displaystyle \left[\bigcirc \sqcup L\right]=V\otimes \left[L\right]}.
• Wenn Diagramme dreier Verschlingungen ${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}} sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist ${\displaystyle \left[L_{0}\right]={\mathcal {F}}(0\to L_{1}\to L_{-1}\left\{1\right\}\to 0)}${\displaystyle \left[L_{0}\right]={\mathcal {F}}(0\to L_{1}\to L_{-1}\left\{1\right\}\to 0)}.

Dabei ist ${\displaystyle V}${\displaystyle V} ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern ${\displaystyle q}${\displaystyle q} und ${\displaystyle q^{-1}}${\displaystyle q^{-1}} in Graden ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1} und ${\displaystyle -1}${\displaystyle -1}, ${\displaystyle \left\{1\right\}}${\displaystyle \left\{1\right\}} steht für Gradverschiebung um ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1}, und ${\displaystyle {\mathcal {F}}}${\displaystyle {\mathcal {F}}} macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen.

Die Khovanov-Homologie ${\displaystyle L}${\displaystyle L} ist dann definiert als Homologie von ${\displaystyle \left[L\right]\left[-n_{-}\right]\left\{n_{+}-2n_{-}\right\}}${\displaystyle \left[L\right]\left[-n_{-}\right]\left\{n_{+}-2n_{-}\right\}}, wobei ${\displaystyle n_{\pm }}${\displaystyle n_{\pm }} für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht, ${\displaystyle \left[.\right]}${\displaystyle \left[.\right]} für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und ${\displaystyle \left\{.\right\}}${\displaystyle \left\{.\right\}} wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.

Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.

Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper ${\displaystyle F_{2}}${\displaystyle F_{2}}.

Khovanov-Homologie einer Verschlingung ${\displaystyle L}${\displaystyle L} ist ein ${\displaystyle F_{2}}${\displaystyle F_{2}}-Vektorraum ${\displaystyle Kh(L)}${\displaystyle Kh(L)} mit folgenden Eigenschaften:

• Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie.
• Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt ${\displaystyle Kh(L_{1}\sqcup L_{2})=Kh(L_{1})\otimes Kh(L_{2})}${\displaystyle Kh(L_{1}\sqcup L_{2})=Kh(L_{1})\otimes Kh(L_{2})}, insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu ${\displaystyle F_{2}}${\displaystyle F_{2}}..
• Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist ${\displaystyle F_{2}\oplus F_{2}}${\displaystyle F_{2}\oplus F_{2}}.
• Wenn Diagramme dreier Verschlingungen ${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}}${\displaystyle L_{-1},L_{0},L_{1}} sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck ${\displaystyle Kh(L_{-1})\to Kh(L_{0})\to Kh(L_{1})\to Kh(L_{-1})}${\displaystyle Kh(L_{-1})\to Kh(L_{0})\to Kh(L_{1})\to Kh(L_{-1})}.

Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung

${\displaystyle Kh(L)=\bigoplus _{i,j\in \mathbb {Z} }Kh^{i,j}(L)}${\displaystyle Kh(L)=\bigoplus _{i,j\in \mathbb {Z} }Kh^{i,j}(L)},

so dass

• ein Linkkobordismus ${\displaystyle \Sigma \colon L_{1}\to L_{2}}${\displaystyle \Sigma \colon L_{1}\to L_{2}} eine Abbildung ${\displaystyle Kh(\Sigma )\colon K(L_{1})\to K(L_{2})}${\displaystyle Kh(\Sigma )\colon K(L_{1})\to K(L_{2})} vom Bigrad ${\displaystyle (0,\chi (\Sigma ))}${\displaystyle (0,\chi (\Sigma ))} induziert,
• der Erzeuger von ${\displaystyle Kh(\emptyset )}${\displaystyle Kh(\emptyset )} den Bigrad ${\displaystyle (0,0)}${\displaystyle (0,0)} und die Erzeuger von ${\displaystyle Kh(Unknoten)}${\displaystyle Kh(Unknoten)} den Bigrad ${\displaystyle (1,0)}${\displaystyle (1,0)} und ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)} haben,
• das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to Kh^{i,j+1}(L_{-1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i-\omega ,j-1-3\omega }(L_{1})\to Kh^{i+1,j+1}(L_{-1})\to \ldots }${\displaystyle \ldots \to Kh^{i,j+1}(L_{-1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i-\omega ,j-1-3\omega }(L_{1})\to Kh^{i+1,j+1}(L_{-1})\to \ldots }

wobei ${\displaystyle \omega }${\displaystyle \omega } die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{1}}${\displaystyle L_{1}} minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{0}}${\displaystyle L_{0}} ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle \ldots \to Kh^{i-1,j-1}(L_{-1})\to Kh^{i-1-c,j-2-3c}(L_{1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i,j-1}(L_{1})\to \ldots }${\displaystyle \ldots \to Kh^{i-1,j-1}(L_{-1})\to Kh^{i-1-c,j-2-3c}(L_{1})\to Kh^{i,j}(L_{0})\to Kh^{i,j-1}(L_{1})\to \ldots }

wobei ${\displaystyle c}${\displaystyle c} die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{1}}${\displaystyle L_{1}} minus die Anzahl der Überkreuzungen von ${\displaystyle L_{0}}${\displaystyle L_{0}} ist.

Für eine orientierte Verschlingung ist die gradierte Euler-Charakteristik

${\displaystyle {\frac {1}{t^{\frac {1}{2}}+t^{-{\frac {1}{2}}}}}\sum _{i,j}(-1)^{i+j+1}t^{\frac {j}{2}}\dim(Kh^{i,j}(L))}${\displaystyle {\frac {1}{t^{\frac {1}{2}}+t^{-{\frac {1}{2}}}}}\sum _{i,j}(-1)^{i+j+1}t^{\frac {j}{2}}\dim(Kh^{i,j}(L))}

das Jones-Polynom von ${\displaystyle L}${\displaystyle L}.

• M. Khovanov: A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal, 101 (3): 359–426, 2000.
• Dror Bar-Natan: On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic & Geometric Topology, 2: 337–370, 2002.

• Khovanov homology (Knot Atlas)

• Knoteninvariante
• Homologietheorie