Irreduzibles Gitter

In der Mathematik sind irreduzible Gitter in der Theorie der Lie-Gruppen von Bedeutung.

Sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine nichtkompakte, halbeinfache Lie-Gruppe und ${\displaystyle \Gamma \subset G}${\displaystyle \Gamma \subset G} ein Gitter, d. h. eine diskrete Untergruppe, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens bzgl. des Haarmaßes gibt.

Wenn ${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1}}${\displaystyle \Gamma _{1}\subset G_{1}} und ${\displaystyle \Gamma _{2}\subset G_{2}}${\displaystyle \Gamma _{2}\subset G_{2}} Gitter sind, dann ist ${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}}${\displaystyle \Gamma _{1}\times \Gamma _{2}} ein Gitter in ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}. Solche Gitter heißen reduzibel.

Ein Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}${\displaystyle \Gamma \subset G} heißt irreduzibel, wenn für jeden nichtkompakten, abgeschlossenen Normalteiler der Zusammenhangskomponente der Eins ${\displaystyle N\subset G_{0}}${\displaystyle N\subset G_{0}} die Menge ${\displaystyle \Gamma N}${\displaystyle \Gamma N} dicht in ${\displaystyle G}${\displaystyle G} ist.

In einer nicht-kompakten einfachen Lie-Gruppe ist jedes Gitter irreduzibel.

Beispiele irreduzibler Gitter in Gruppen der Form ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}}${\displaystyle G_{1}\times G_{2}} sind die Hilbertschen Modulgruppen.

Wenn das Zentrum ${\displaystyle Z(G)=0}${\displaystyle Z(G)=0} und die Projektion von ${\displaystyle \Gamma }${\displaystyle \Gamma } im maximal kompakten Faktor dicht liegt, dann ist jedes Gitter kommensurabel zu einem Produkt irreduzibler Gitter.

• D. Witte-Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2

• Theorie der Lie-Gruppen
• Untergruppe