Immersion (Mathematik)

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung ${\displaystyle F\colon M\rightarrow N}${\displaystyle F\colon M\rightarrow N} zwischen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}${\displaystyle M} und ${\displaystyle N}${\displaystyle N}, wenn der Pushforward ${\displaystyle F_{\ast p}\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N}${\displaystyle F_{\ast p}\colon T_{p}M\to T_{F(p)}N} dieser Abbildung an jedem Punkt ${\displaystyle p\in M}${\displaystyle p\in M} injektiv ist. Ist darüber hinaus ${\displaystyle F}${\displaystyle F} eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu ${\displaystyle M}${\displaystyle M} diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle N.}${\displaystyle N.}

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Liegt der Spezialfall ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt ${\displaystyle F_{\ast }:T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{F(p)}\mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle F_{\ast }:T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{F(p)}\mathbb {R} ^{n}} nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix ${\displaystyle DF(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle DF(p)\colon \mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung ${\displaystyle F:M\rightarrow N}${\displaystyle F:M\rightarrow N} genau dann eine Immersion, wenn für alle ${\displaystyle p\in M}${\displaystyle p\in M} der Rang der linearen Abbildung ${\displaystyle F_{\ast }}${\displaystyle F_{\ast }} gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}${\displaystyle M} ist, also gilt

${\displaystyle \operatorname {rang} F_{p}=\dim(\operatorname {Bild} (F_{\ast p}))=\dim M.}${\displaystyle \operatorname {rang} F_{p}=\dim(\operatorname {Bild} (F_{\ast p}))=\dim M.}

Zwei Immersionen ${\displaystyle F_{0},F_{1}\colon M\to N}${\displaystyle F_{0},F_{1}\colon M\to N} heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie ${\displaystyle F\colon M\times [0,1]\to N}${\displaystyle F\colon M\times [0,1]\to N} gibt mit ${\displaystyle F(m,0)=F_{0}(m)}${\displaystyle F(m,0)=F_{0}(m)} und ${\displaystyle F(m,1)=F_{1}(m)}${\displaystyle F(m,1)=F_{1}(m)} für alle ${\displaystyle m\in M}${\displaystyle m\in M}, so dass für jedes ${\displaystyle t\in \left[0,1\right]}${\displaystyle t\in \left[0,1\right]} die Abbildung

${\displaystyle F_{t}\colon \left\{{\begin{aligned}M&\to N\\m&\mapsto F(m,t)\end{aligned}}\right.}${\displaystyle F_{t}\colon \left\{{\begin{aligned}M&\to N\\m&\mapsto F(m,t)\end{aligned}}\right.}

wieder eine Immersion ist.

Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.

• Submersion

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.

• Differentialtopologie