Hyperrechteck

Ein Hyperrechteck oder auch Hyperquader ist in der Geometrie die Verallgemeinerung des Rechtecks und des Quaders auf beliebig viele Dimensionen. Der Hyperwürfel ist ein Spezialfall davon.

Ein achsenparalleles Hyperrechteck ${\displaystyle R}${\displaystyle R} im ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ist das kartesische Produkt von ${\displaystyle n}${\displaystyle n} reellen Intervallen ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]}${\displaystyle [a_{i},b_{i}]} mit ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}} für ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}, das heißt

${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]}${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]}.

Im Allgemeinen ist ein Hyperrechteck eine Figur, die kongruent ist mit einem achsenparallelen Hyperrechteck.

Für ${\displaystyle n=1}${\displaystyle n=1} erhält man so ein Intervall, für ${\displaystyle n=2}${\displaystyle n=2} ein Rechteck und für ${\displaystyle n=3}${\displaystyle n=3} einen Quader.

Für den Spezialfall, dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]}${\displaystyle [0,1]} sind, erhält man den Einheitshyperwürfel

${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[0,1]=[0,1]^{n}}${\displaystyle R=\prod _{i=1}^{n}[0,1]=[0,1]^{n}}.

Jedes ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Hyperrechteck mit ${\displaystyle n\geq 2}${\displaystyle n\geq 2} hat

• ${\displaystyle 2^{n}}${\displaystyle 2^{n}} Ecken,
• ${\displaystyle n2^{n-1}}${\displaystyle n2^{n-1}} Kanten, die rechtwinklig aufeinanderstoßen, und
• ${\displaystyle 2n}${\displaystyle 2n} Seitenflächen, die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension ${\displaystyle n-1}${\displaystyle n-1} sind.

Allgemein wird ein ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionales Hyperrechteck von

${\displaystyle {\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}}${\displaystyle {\binom {n}{k}}\cdot 2^{n-k}}

Hyperrechtecken der Dimension ${\displaystyle k}${\displaystyle k} begrenzt, wobei ${\displaystyle k\in \{0,\dotsc ,n-1\}}${\displaystyle k\in \{0,\dotsc ,n-1\}} ist.

Das Volumen eines Hyperrechtecks ${\displaystyle R}${\displaystyle R} beträgt

${\displaystyle \operatorname {vol} (R)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\dotsm (b_{n}-a_{n})}${\displaystyle \operatorname {vol} (R)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\dotsm (b_{n}-a_{n})}.

Das ist der Ausgangspunkt für die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen, wie in der Konstruktion des ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionalen Lebesguemaßes in der Maßtheorie deutlich wird.

Der Oberflächeninhalt beträgt

${\displaystyle \operatorname {vol} (\partial R)=2\sum _{j=1}^{n}\prod _{i=1 \atop i\neq j}^{n}(b_{i}-a_{i})}${\displaystyle \operatorname {vol} (\partial R)=2\sum _{j=1}^{n}\prod _{i=1 \atop i\neq j}^{n}(b_{i}-a_{i})}.

• Hyperwürfel – Spezialisierung für gleiche Kantenlängen
• Hilbertwürfel für den unendlichdimensionalen Fall
• Hyperebene
• Hyperpyramide
• Hypersphäre
• Hyperraum

• Eric W. Weisstein: Orthotope. In: MathWorld (englisch).

• Polytop