Homologiesphäre

Eine Homologiesphäre bezeichnet in der Mathematik eine ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}${\displaystyle M}, deren singuläre Homologiegruppen isomorph zu denen der gewöhnlichen ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-Sphäre sind.

Eine ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}${\displaystyle M} heißt Homologiesphäre, falls für ihre singulären Homologiegruppen

${\displaystyle H_{0}(M,\mathbb {Z} )\cong H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }${\displaystyle H_{0}(M,\mathbb {Z} )\cong H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }

für ein ${\displaystyle n>1}${\displaystyle n>1} und

${\displaystyle H_{j}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}}${\displaystyle H_{j}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}}

für alle anderen ${\displaystyle j}${\displaystyle j} gilt.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass ${\displaystyle M}${\displaystyle M} eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Im Allgemeinen ist ${\displaystyle M}${\displaystyle M} jedoch nicht einfach zusammenhängend: Teilt man die Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}(M)}${\displaystyle \pi _{1}(M)} durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {Z} )}${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {Z} )} ist. Das bedeutet aus ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}}${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}} kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe, also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass ${\displaystyle \pi _{1}(M)}${\displaystyle \pi _{1}(M)} trivial sein muss.

Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der ${\displaystyle 3}${\displaystyle 3}-dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die ${\displaystyle 3}${\displaystyle 3}-dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich ${\displaystyle \pi _{1}(M)=\{0\}}${\displaystyle \pi _{1}(M)=\{0\}} gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.

Eine Anwendung des Satzes von Hurewicz und des Satzes von Whitehead zeigt, dass jede einfach zusammenhängende ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Homologiesphäre eine Homotopiesphäre, d. h. homotopieäquivalent zur Sphäre ${\displaystyle S^{n}}${\displaystyle S^{n}} sein muss. Aus der Poincaré-Vermutung beziehungsweise ihrem höherdimensionalen Analogon für ${\displaystyle n>3}${\displaystyle n>3} folgt dann, dass sie auch homöomorph zur ${\displaystyle S^{n}}${\displaystyle S^{n}} ist. Auch in höheren Dimensionen gibt es also Homologiesphären ${\displaystyle M\not =S^{n}}${\displaystyle M\not =S^{n}} nur für ${\displaystyle \pi _{1}M\not =0}${\displaystyle \pi _{1}M\not =0}.

• Classification of homology 3-spheres? (mathoverflow)

• Geometrische Topologie