Higgs-Bündel

In der Mathematik sind Higgs-Bündel ein Hilfsmittel in der Darstellungstheorie von Flächengruppen und Fundamentalgruppen komplexer Mannigfaltigkeiten. Sie wurden von Nigel Hitchin eingeführt und wegen der Analogie zu Higgs-Bosonen nach Peter Higgs benannt.

Ein Higgs-Bündel ist ein Paar ${\displaystyle (V,\phi )}${\displaystyle (V,\phi )} bestehend aus einem holomorphen Vektorbündel ${\displaystyle V}${\displaystyle V} über einer Riemannschen Fläche ${\displaystyle \Sigma }${\displaystyle \Sigma } und einem Higgs-Feld, d. h. einer ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}${\displaystyle \operatorname {End} (V)}-wertigen holomorphen 1-Form ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi }.

Ein Higgs-Bündel ${\displaystyle (V,\phi )}${\displaystyle (V,\phi )} heißt stabil, wenn für alle ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi }-invarianten holomorphen Unterbündel ${\displaystyle W\subset V}${\displaystyle W\subset V} die Ungleichung

${\displaystyle {\frac {\deg(W)}{\operatorname {rank} (W)}}<{\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}}${\displaystyle {\frac {\deg(W)}{\operatorname {rank} (W)}}<{\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}}

gilt. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {deg} }${\displaystyle \operatorname {deg} } den Grad eines Vektorbündels und ${\displaystyle \operatorname {rank} }${\displaystyle \operatorname {rank} } seinen Rang, also die Dimension seiner Fasern. (Man beachte, dass die Ungleichung nur für ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi }-invariante Unterbündel gelten soll, ein stabiles Higgs-Bündel also nicht notwendig ein stabiles Vektorbündel sein muss.)

Ein Higgs-Bündel ${\displaystyle (V,\phi )}${\displaystyle (V,\phi )} heißt polystabil, wenn es eine direkte Summe

${\displaystyle (V,\phi )=\bigoplus _{i=1}^{l}(V_{i},\phi _{i})}${\displaystyle (V,\phi )=\bigoplus _{i=1}^{l}(V_{i},\phi _{i})}

stabiler Higgs-Bündel mit

${\displaystyle {\frac {\deg(V_{i})}{\operatorname {rank} (V_{i})}}={\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}}${\displaystyle {\frac {\deg(V_{i})}{\operatorname {rank} (V_{i})}}={\frac {\deg(V)}{\operatorname {rank} (V)}}}

für ${\displaystyle i=1,\ldots ,l}${\displaystyle i=1,\ldots ,l} ist.

Aufbauend auf Resultaten von Corlette und Donaldson bewiesen Hitchin und Simpson die folgenden Äquivalenzen für Riemannsche Flächen ${\displaystyle \Sigma }${\displaystyle \Sigma }:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Stabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Irreduzible}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}}${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Stabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Irreduzible}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}}

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Polystabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Reduktive}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}}${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Polystabile}}\ {\mbox{Higgs-Bündel}}\\(V,\Phi )\ {\mbox{über}}\ \Sigma \end{array}}\right\}=\left\{{\begin{array}{c}{\mbox{Reduktive}}\ {\mbox{Darstellungen}}\\\rho \colon \pi _{1}\Sigma \to GL(n,\mathbb {C} )\end{array}}\right\}}

Über höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle X}${\displaystyle X} definiert man ein Higgs-Bündel als ein Paar ${\displaystyle (V,\phi )}${\displaystyle (V,\phi )} aus einem holomorphen Vektorbündel ${\displaystyle V}${\displaystyle V} über ${\displaystyle X}${\displaystyle X} und einer ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}${\displaystyle \operatorname {End} (V)}-wertigen holomorphen 1-Form ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi }, die die Gleichung ${\displaystyle \phi \wedge \phi =0}${\displaystyle \phi \wedge \phi =0} erfüllt.

(Im Falle Riemannscher Flächen ist diese Gleichung trivialerweise erfüllt.)

Sei ${\displaystyle X}${\displaystyle X} eine kompakte Riemannsche Fläche mit kanonischem Linienbündel ${\displaystyle K\simeq T^{*}X}${\displaystyle K\simeq T^{*}X}, und sei ${\displaystyle G}${\displaystyle G} eine reelle reduktive Lie-Gruppe mit einer maximal kompakten Untergruppe ${\displaystyle H\subset G}${\displaystyle H\subset G}. Sei ${\displaystyle H^{\mathbb {C} }}${\displaystyle H^{\mathbb {C} }} die Komplexifizierung und ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} }}${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} }} die Komplexifizierung einer Cartan-Zerlegung. Die von der adjungierten Darstellung induzierte Isotropie-Darstellung ${\displaystyle \sigma \colon H^{\mathbb {C} }\to GL({\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })}${\displaystyle \sigma \colon H^{\mathbb {C} }\to GL({\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })} ist holomorph und hängt nicht von der gewählten Cartan-Zerlegung ab.

Ein ${\displaystyle G}${\displaystyle G}-Higgs-Bündel ${\displaystyle (E,\phi )}${\displaystyle (E,\phi )} ist ein holomorphes ${\displaystyle H^{\mathbb {C} }}${\displaystyle H^{\mathbb {C} }}-Prinzipalbündel ${\displaystyle E\to X}${\displaystyle E\to X} mit einem holomorphen Schnitt ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi } des Vektorbündels ${\displaystyle (E\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K\to X}${\displaystyle (E\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K\to X}.

Der Schnitt ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi } wird als Higgs-Feld bezeichnet.

Zwei Higgs-Bündel ${\displaystyle (E,\phi )}${\displaystyle (E,\phi )} und ${\displaystyle (E^{\prime },\phi ^{\prime })}${\displaystyle (E^{\prime },\phi ^{\prime })} heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von Prinzipalbündeln ${\displaystyle E\simeq E^{\prime }}${\displaystyle E\simeq E^{\prime }} gibt, so dass der induzierte Isomorphismus ${\displaystyle (E\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K\simeq (E^{\prime }\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K}${\displaystyle (E\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K\simeq (E^{\prime }\times _{\sigma }{\mathfrak {m}}^{\mathbb {C} })\otimes K} den Schnitt ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi } auf ${\displaystyle \phi ^{\prime }}${\displaystyle \phi ^{\prime }} abbildet.

Ein Higgs-Bündel heißt stabil, wenn für jedes ${\displaystyle \phi }${\displaystyle \phi }-invariante echte Unterbündel ${\displaystyle F\subset E}${\displaystyle F\subset E} gilt:

${\displaystyle {\frac {deg(F)}{rank(F)}}<{\frac {deg(E)}{rank(E)}}}${\displaystyle {\frac {deg(F)}{rank(F)}}<{\frac {deg(E)}{rank(E)}}}.

• Corlette, Kevin: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differential Geom. 28 (1988), no. 3, 361–382.
• Donaldson, Simon: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 127–131.
• Hitchin, Nigel: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), no. 1, 59–126.
• Simpson, Carlos: Constructing variations of Hodge structure using Yang-Mills theory and applications to uniformization. J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), no. 4, 867–918.

• Joseph Le Potier: Fibrés de Higgs et systèmes locaux (Séminaire Bourbaki)
• Steven B. Bradlow, Oscar García-Prada, Peter B. Gothen: WHAT IS ... a Higgs bundle? (Notices of the AMS)
• Richard A. Wentworth: Higgs bundles and local systems
• Peter B. Gothen: Surface group representations and Higgs bundles
• William M. Goldman: Higgs bundles and geometric structures on surfaces
• Jan Swoboda: Higgsbündel und Darstellungsvarietäten (Jahrbuch der Max-Planck-Gesellschaft)
• Oliver Guichard: An introduction to the differential geometry of flat bundles and of Higgs bundles
• Laura Schaposnik: Higgs bundles - recent applications

• Darstellungstheorie von Gruppen
• Differentialgeometrie