Heun-Verfahren

Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und ist ein Beispiel für ein zweistufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren.^[1]

Im Gegensatz zum expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.

Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems^[1]

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad \quad y(t_{0})=y_{0}}${\displaystyle y'=f(t,y),\quad \quad y(t_{0})=y_{0}}

für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite ${\displaystyle h>0}${\displaystyle h>0}, betrachte die diskreten Zeitpunkte

${\displaystyle t_{k+1}=t_{0}+kh,\quad \quad k=0,1,2,\dots }${\displaystyle t_{k+1}=t_{0}+kh,\quad \quad k=0,1,2,\dots }

und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren

${\displaystyle y_{k+1}^{[P]}=y_{k}+hf(t_{k},y_{k})\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }${\displaystyle y_{k+1}^{[P]}=y_{k}+hf(t_{k},y_{k})\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }

und dann

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{k},y_{k})+f(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{k},y_{k})+f(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }

was sich umformen lässt zu

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {1}{2}}y_{k}+{\frac {1}{2}}(y_{k+1}^{[P]}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }${\displaystyle y_{k+1}={\frac {1}{2}}y_{k}+{\frac {1}{2}}(y_{k+1}^{[P]}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots }

Die ${\displaystyle y_{k}}${\displaystyle y_{k}} sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion ${\displaystyle y(t)}${\displaystyle y(t)} zu den Zeitpunkten ${\displaystyle t_{k}}${\displaystyle t_{k}}.

Mit ${\displaystyle h}${\displaystyle h} wird die Schrittweite bezeichnet. Verkleinert man diese, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die ${\displaystyle y_{k}}${\displaystyle y_{k}} liegen näher am tatsächlichen Funktionswert ${\displaystyle y(t_{k})}${\displaystyle y(t_{k})}). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit ${\displaystyle h^{2}}${\displaystyle h^{2}} gegen null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.

• Explizites Euler-Verfahren (Eulersches Polygonzugverfahren)
• Implizites Euler-Verfahren
• Runge-Kutta-Verfahren
• Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

1. ↑ ^{a b} Hans Rudolf Schwarz & Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 2006, ISBN 978-3-8351-9064-1, S. 354. 

• Numerische Mathematik
• Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen