Henselsches Lemma

Das henselsche Lemma (nach Kurt Hensel) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra.

Es wurde schon 1846 vor Hensel von Theodor Schönemann bewiesen.^[1] Das henselsche Lemma ist (im Wesentlichen) das Newtonverfahren angewendet auf ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}^[2] .

Es sei ${\displaystyle K}${\displaystyle K} ein vollständiger, nicht-archimedisch bewerteter Körper mit Bewertungsring ${\displaystyle A}${\displaystyle A} und Restklassenkörper ${\displaystyle k}${\displaystyle k}. Ist nun ${\displaystyle f\in A[X]}${\displaystyle f\in A[X]} ein Polynom, dessen Reduktion ${\displaystyle {\bar {f}}\in k[X]}${\displaystyle {\bar {f}}\in k[X]} das Produkt zweier teilerfremder Polynome ${\displaystyle {\bar {g}},{\bar {h}}\in k[X]}${\displaystyle {\bar {g}},{\bar {h}}\in k[X]} ist, so gibt es Polynome ${\displaystyle g,h\in A[X]}${\displaystyle g,h\in A[X]}, so dass ${\displaystyle f=gh}${\displaystyle f=gh} gilt und ${\displaystyle {\bar {g}}}${\displaystyle {\bar {g}}} bzw. ${\displaystyle {\bar {h}}}${\displaystyle {\bar {h}}} die Reduktion von ${\displaystyle g}${\displaystyle g} bzw. ${\displaystyle h}${\displaystyle h} ist.

• Mit dem henselschen Lemma kann man zeigen, dass der Körper der ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-adischen Zahlen die ${\displaystyle (p-1)}${\displaystyle (p-1)}-ten Einheitswurzeln enthält:

Für eine Primzahl ${\displaystyle p}${\displaystyle p} sei ${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{p}}${\displaystyle K=\mathbb {Q} _{p}} der Körper der ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-adischen Zahlen, ${\displaystyle A=\mathbb {Z} _{p}}${\displaystyle A=\mathbb {Z} _{p}} und ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}}${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}}. Das Polynom ${\displaystyle f(X):=X^{p-1}-1}${\displaystyle f(X):=X^{p-1}-1} zerfällt über ${\displaystyle k}${\displaystyle k} in Linearfaktoren

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p-1}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})\cdots (X-{\overline {p-1}})}${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p-1}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})\cdots (X-{\overline {p-1}})}.

Es gibt also Polynome ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}[X]}${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}[X]}, so dass

${\displaystyle f=g_{1}\cdots g_{p-1},\qquad g_{i}(X)\equiv X-i{\pmod {p}}}${\displaystyle f=g_{1}\cdots g_{p-1},\qquad g_{i}(X)\equiv X-i{\pmod {p}}}

gilt. Die Polynome ${\displaystyle g_{i}}${\displaystyle g_{i}} haben notwendigerweise die Form ${\displaystyle g(X)=aX+b}${\displaystyle g(X)=aX+b} mit ${\displaystyle a\in 1+p\mathbb {Z} _{p}}${\displaystyle a\in 1+p\mathbb {Z} _{p}}, man kann also ${\displaystyle a=1}${\displaystyle a=1} annehmen, d. h. es gibt ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}}${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}\in \mathbb {Z} _{p}}, so dass

${\displaystyle X^{p-1}-1=(X-\zeta _{1})\cdots (X-\zeta _{p-1})}${\displaystyle X^{p-1}-1=(X-\zeta _{1})\cdots (X-\zeta _{p-1})}

gilt. Die ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}}${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{p-1}} sind die ${\displaystyle (p-1)}${\displaystyle (p-1)}-ten Einheitswurzeln und sie können immer so angeordnet werden, dass ${\displaystyle \zeta _{i}\equiv i{\pmod {p}}}${\displaystyle \zeta _{i}\equiv i{\pmod {p}}}.

• Ist die Primzahl ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}, dann gibt es nach dem Obigen ein ${\displaystyle \eta \in \mathbb {Q} _{p}}${\displaystyle \eta \in \mathbb {Q} _{p}} mit ${\displaystyle \eta ^{2}=-1}${\displaystyle \eta ^{2}=-1}.

Denn unter den ${\displaystyle (p-1)}${\displaystyle (p-1)}-ten Einheitswurzeln gibt es eine, sie sei mit ${\displaystyle \zeta }${\displaystyle \zeta } bezeichnet, die die zyklische Gruppe der ${\displaystyle (p-1)}${\displaystyle (p-1)}-ten Einheitswurzeln erzeugt. Mit ${\displaystyle \eta :=\zeta ^{\tfrac {p-1}{4}}}${\displaystyle \eta :=\zeta ^{\tfrac {p-1}{4}}} ergibt sich ${\displaystyle \eta ^{2}=-1}${\displaystyle \eta ^{2}=-1}.

• Im Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} der ${\displaystyle p}${\displaystyle p}-adischen Zahlen ist 0 durch eine nicht-triviale Summe von Quadraten darstellbar. Damit ist −1 durch eine Summe von Quadraten darstellbar, und ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} kann nicht angeordnet werden.

Zwei Fälle sind zu unterscheiden:

1. ${\displaystyle p=2}${\displaystyle p=2}: Hier ist bei Quadratwurzeln wegen der fehlenden Teilerfremdheit der Polynome über ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}${\displaystyle \mathbb {F} _{2}} das henselsche Lemma nicht direkt anwendbar. Es lässt sich aber mit der Vorgehensweise im Beweis desselben zeigen, dass ${\displaystyle {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} _{2}}${\displaystyle {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} _{2}}. Sei nämlich ${\displaystyle m_{3}:=1\in \mathbb {Z} }${\displaystyle m_{3}:=1\in \mathbb {Z} } mit ${\displaystyle {m_{3}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{3}}}}${\displaystyle {m_{3}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{3}}}}. Für ${\displaystyle i=3,4,...}${\displaystyle i=3,4,...} sei nun ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {Z} }${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {Z} } derart, dass ${\displaystyle {m_{i}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{i}}}}${\displaystyle {m_{i}}^{2}\equiv -7{\pmod {2^{i}}}}. Da ${\displaystyle {m_{i}}^{2}+7}${\displaystyle {m_{i}}^{2}+7} durch 2 teilbar ist, können wir
       ${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-{\frac {{m_{i}}^{2}+7}{2m_{i}}}{\pmod {2^{i+1}}}}${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-{\frac {{m_{i}}^{2}+7}{2m_{i}}}{\pmod {2^{i+1}}}}
   bilden. Dann ist
       ${\displaystyle m_{i+1}^{2}\equiv {m_{i}}^{2}-({m_{i}}^{2}+7)\equiv -7{\pmod {2^{i+1}}}}${\displaystyle m_{i+1}^{2}\equiv {m_{i}}^{2}-({m_{i}}^{2}+7)\equiv -7{\pmod {2^{i+1}}}}.
   Somit gibt es eine in ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}} konvergente Folge ${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}}${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}} mit ${\displaystyle m^{2}=-7}${\displaystyle m^{2}=-7}. Die Summe von 5 Quadraten ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+m^{2}=7+m^{2}=7-7=0}${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+m^{2}=7+m^{2}=7-7=0} verschwindet.
2. ${\displaystyle p>2}${\displaystyle p>2}: Mit ${\displaystyle m_{2}:=1+{\tfrac {p-1}{2}}p}${\displaystyle m_{2}:=1+{\tfrac {p-1}{2}}p} ist wegen
       ${\displaystyle 1-p\equiv 1+(p-1)p+\left({\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}=\left(1+{\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}={m_{2}}^{2}{\pmod {p^{2}}}}${\displaystyle 1-p\equiv 1+(p-1)p+\left({\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}=\left(1+{\tfrac {p-1}{2}}p\right)^{2}={m_{2}}^{2}{\pmod {p^{2}}}}
   die Zahl ${\displaystyle 1-p}${\displaystyle 1-p} quadratischer Rest in ${\displaystyle p^{2}\mathbb {Z} _{p}.}${\displaystyle p^{2}\mathbb {Z} _{p}.} Die Folge ${\displaystyle \{m_{i}\}}${\displaystyle \{m_{i}\}} lässt sich mit der Vorgehensweise im Beweis des henselschen Lemmas zu einem Element ${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}${\displaystyle m:=\lim _{i\to \infty }m_{i}\in \mathbb {Z} _{p}} entwickeln, für das ${\displaystyle m^{2}=1-p}${\displaystyle m^{2}=1-p} gilt. Man nehme nur
       ${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-({m_{i}}^{2}+1-p),円{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p^{i+1}}}}${\displaystyle m_{i+1}:\equiv m_{i}-({m_{i}}^{2}+1-p),円{\tfrac {p-1}{2}}{\pmod {p^{i+1}}}}
   Im Ergebnis verschwindet die Summe der ${\displaystyle p}${\displaystyle p} Quadrate ${\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+m^{2}=(p-1)+(1-p)=0.}${\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+m^{2}=(p-1)+(1-p)=0.}

• Es seien ${\displaystyle K,A,k}${\displaystyle K,A,k} wie oben, aber ${\displaystyle f(X)=X^{p}-1}${\displaystyle f(X)=X^{p}-1}. Dann ist ${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})^{p}}${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{p}-{\bar {1}}=(X-{\bar {1}})^{p}} mit Faktoren ${\displaystyle X-{\bar {1}}}${\displaystyle X-{\bar {1}}}, die alle gleich, also nicht teilerfremd sind. Das henselsche Lemma ist nicht anwendbar.

Die Voraussetzung, dass ${\displaystyle K}${\displaystyle K} vollständig ist, ist eigentlich stärker als es für den Beweis des henselschen Lemmas erforderlich wäre. Allgemein nennt man bewertete Körper ${\displaystyle K}${\displaystyle K} beziehungsweise Ringe ${\displaystyle A}${\displaystyle A}, in denen das henselsche Lemma in der oben angegebenen Form gilt, henselsch.

Ein Hebungsbaum ist ein Hilfsmittel um das Verhalten eines Polynoms ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}, genauer das Verhalten der Nullstellen modulo ${\displaystyle p^{k}}${\displaystyle p^{k}} des Polynoms, zu beschreiben. Anhand eines Hebungsbaumes kann man p-adische Zahlen leichter untersuchen und damit auf das Verhalten des Polynoms schließen.

Der Hebungsbaum hat in seiner k-ten Ebene die Nullstellen modulo ${\displaystyle p^{k}}${\displaystyle p^{k}} und diese werden mit ihren Hebungen modulo ${\displaystyle p^{k+1}}${\displaystyle p^{k+1}} verbunden, falls diese ebenfalls wieder Nullstellen sind.

Sei ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]}${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Z} [X]} ein rational irreduzibles Polynom. Sei p prim. Sei ${\displaystyle k\geq 1}${\displaystyle k\geq 1} die Ebene des Hebungsbaumes.

Sei ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }. Ist

${\displaystyle f(a)\equiv 0\mod p^{k}}${\displaystyle f(a)\equiv 0\mod p^{k}},

so sagen wir, ${\displaystyle a}${\displaystyle a} ist eine Nullstelle von f(X) in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}}${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}} oder modulo ${\displaystyle p^{k}}${\displaystyle p^{k}}.

Sei ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }${\displaystyle a\in \mathbb {Z} } eine Nullstelle von ${\displaystyle f(X)}${\displaystyle f(X)} modulo ${\displaystyle p^{k}}${\displaystyle p^{k}}. Sei ${\displaystyle l\geq 1}${\displaystyle l\geq 1} . Ist ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }${\displaystyle b\in \mathbb {Z} } eine Nullstelle von f(X) modulo ${\displaystyle p^{k+l}}${\displaystyle p^{k+l}} und ist

${\displaystyle b\equiv a\mod p^{k}}${\displaystyle b\equiv a\mod p^{k}} ,

dann sagen wir, dass ${\displaystyle b}${\displaystyle b} eine Nullstelle modulo ${\displaystyle p^{k+l}}${\displaystyle p^{k+l}} ist, die die Nullstelle a modulo ${\displaystyle p^{k}}${\displaystyle p^{k}} hebt.

In einem Hebungsbaum werden alle Nullstellen eines Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}}${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}} eingetragen, wobei ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }${\displaystyle k\in \mathbb {Z} } die jeweilige Ebene des Hebungsbaumes ist.

Die erste Ebene des Baumes befindet sich ganz unten. Mit wachsendem ${\displaystyle k}${\displaystyle k} wächst der Baum von unten nach oben und es werden alle Nullstellen in der jeweiligen Ebene eingetragen.

In der untersten und damit ersten Ebene (${\displaystyle k=1}${\displaystyle k=1}) werden alle Nullstellen des Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}${\displaystyle \mathbb {Z} /p} eingetragen. Die Nullstellen nehmen Werte in dem Intervall ${\displaystyle [0,p-1]}${\displaystyle [0,p-1]} an.

In der darüberliegenden zweiten Ebene (${\displaystyle k=2}${\displaystyle k=2}) werden alle Nullstellen des Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}} eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall ${\displaystyle [0,p^{2}-1]}${\displaystyle [0,p^{2}-1]} an. Reduziert eine solche Nullstelle in der zweiten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden ersten Ebene in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}${\displaystyle \mathbb {Z} /p}, so werden diese beiden Nullstellen mit einer Linie verbunden.

In der nächsthöhergelegenen Ebene (${\displaystyle k=3}${\displaystyle k=3}) werden alle Nullstellen des Polynoms in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{3}}${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{3}} eingetragen. Die Nullstellen des Polynoms nehmen Werte in dem Intervall ${\displaystyle [0,p^{3}-1]}${\displaystyle [0,p^{3}-1]} an. Auch hier gilt: Reduziert eine Nullstelle in der dritten Ebene zu einer Nullstelle in der darunterliegenden zweiten Ebene in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}, so werden diese Nullstellen mit einer Linie verbunden.

Dies gilt für alle folgenden Ebenen ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }.

Sei das Polynom

${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1}${\displaystyle f(x)=x^{4}-3x^{3}-3x^{2}+x-1}

gegeben. Sei ${\displaystyle p=5}${\displaystyle p=5} prim.

Wir erhalten folgenden Hebungsbaum:

In der ersten Ebene (${\displaystyle k=1}${\displaystyle k=1}) befinden sich die Nullstellen 1 und 3 in dem Intervall ${\displaystyle [0,4]}${\displaystyle [0,4]}. In der zweiten Ebene (${\displaystyle k=2}${\displaystyle k=2}) sind die Nullstellen 3, 8, 13, 18 und 23 in dem Intervall ${\displaystyle [0,24]}${\displaystyle [0,24]} vorhanden. In der darauffolgenden dritten Ebene (${\displaystyle k=3}${\displaystyle k=3}) sehen wir die Nullstellen 8, 33, 58, 83 und 108 in dem Intervall ${\displaystyle [0,124]}${\displaystyle [0,124]}. Für dieses Polynom gilt, dass alle Nullstellen in der zweiten Ebene zu der Nullstelle ${\displaystyle a=3}${\displaystyle a=3} in der ersten Ebene reduziert werden. Sie werden mit jeweils einer Linie verbunden. Man sagt kurz: Die Nullstelle ${\displaystyle a=3}${\displaystyle a=3} aus der ersten Ebene wird in die zweite Ebene gehoben.

Analog für die dritte Ebene.

• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• David Eisenbud: Commutative algebra. (= Graduate Texts in Mathematics. 150). Springer-Verlag, Berlin / New York 1995, ISBN 3-540-94268-8.
• Atilla Pethö: Algebraische Algorithmen. Hrsg.: Michael Pohst. Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06598-2, S. 187. 

• Michael Kaplan: Computeralgebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21379-1, S. 51. 

• K. Hensel: Theorie der Algebraischen Zahlen. Teubner, Leipzig 1908. 
• Helmut Koch: Zahlentheorie – Algebraische Zahlen und Funktionen. Vieweg, 1997.
• Matthias Künzer: Heben von Nullstellen. Universität Stuttgart, 2011.

1. ↑ David A. Cox: Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion and why Schönemann discovered it first. In: American Mathematical Monthly. Band 118, 2011, S. 3–21.
2. ↑ F. Lemmermeyer: Elliptische Kurven 1.

• Algebra
• Satz (Zahlentheorie)