Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Fläche im ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionalen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (mit ${\displaystyle m<n}${\displaystyle m<n}) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} definiert sind und auf den „anständigen" (nicht entarteten) ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen" Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.)

Das bekannteste dieser Maße ist das ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionale Hausdorff-Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionale sphärische Maß ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}} erläutert werden.

Zu einer Teilmenge ${\displaystyle A}${\displaystyle A} des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} betrachtet man die Größen

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}},円\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}{\text{ Kugel im }}\mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\}}${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}},円\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}{\text{ Kugel im }}\mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\}}

für ${\displaystyle \varepsilon >0}${\displaystyle \varepsilon >0}, wobei das Infimum über alle Überdeckungen ${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }} von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} durch abzählbar viele ${\displaystyle n}${\displaystyle n}-dimensionale Kugeln ${\displaystyle B_{1},B_{2},}${\displaystyle B_{1},B_{2},}... im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} mit Durchmessern (Diametern) ${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon }${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon } gebildet wird. Hierbei ist ${\displaystyle \alpha (m)}${\displaystyle \alpha (m)} das Volumen der ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}, gleichbedeutend mit dem ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Flächeninhalt des ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Einheitskreises im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Der Formfaktor ${\displaystyle \alpha (m)}${\displaystyle \alpha (m)} sorgt für die richtige „Normierung" des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden ${\displaystyle \alpha (m)(\operatorname {diam} (B_{i})/2)^{m}}${\displaystyle \alpha (m)(\operatorname {diam} (B_{i})/2)^{m}} sind gerade die ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln ${\displaystyle B_{i}}${\displaystyle B_{i}} mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Ebenen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Das ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionale sphärische Maß von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A).}${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}(A).}

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche ${\displaystyle A}${\displaystyle A}.

Zur Definition des Hausdorff-Maßes ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}} gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{m}} ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {diam} (B)=\sup ,円\left\{|x-y|,円:,円x,y\in B\right\}}${\displaystyle \operatorname {diam} (B)=\sup ,円\left\{|x-y|,円:,円x,y\in B\right\}}

für ${\displaystyle B\neq \emptyset }${\displaystyle B\neq \emptyset } und ${\displaystyle \operatorname {diam} (\emptyset )=0}${\displaystyle \operatorname {diam} (\emptyset )=0}, und man setzt entsprechend für ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}\subset \mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\},}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (m)\left({\frac {1}{2}}\operatorname {diam} (B_{i})\right)^{m}\right|\left.A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i};\;B_{i}\subset \mathbb {R} ^{n};\;\operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon \right\},}

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen ${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }}${\displaystyle (B_{i})_{i\in \mathbb {N} }} von ${\displaystyle A}${\displaystyle A} durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen ${\displaystyle B_{1},B_{2},}${\displaystyle B_{1},B_{2},}... des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} mit ${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon }${\displaystyle \operatorname {diam} (B_{i})<\varepsilon }. Schließlich definiert man

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}(A)}

das metrische äußere Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}, das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}.

Die Ausdrücke ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}}${\displaystyle {\mathcal {S}}_{\varepsilon }^{m}} und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\varepsilon }^{m}} sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen" Fällen auch nicht beim Grenzübergang ${\displaystyle \varepsilon }${\displaystyle \varepsilon } gegen 0 –, jedoch liefern die beiden Maße ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}} und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}} bei den rektifizierbaren (den „anständigen") ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\leq {\mathcal {S}}^{m}\leq [2n/(n+1)]^{m/2}{\mathcal {H}}^{m}.}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\leq {\mathcal {S}}^{m}\leq [2n/(n+1)]^{m/2}{\mathcal {H}}^{m}.}

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche ${\displaystyle A=f(G)}${\displaystyle A=f(G)} mit einem Gebiet ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{m}} und einer injektiven differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} ^{n}} findet die Flächenformel Anwendung:

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\int _{G}{\sqrt {\det(Df,円^{t}Df)}},円\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}.}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(A)=\int _{G}{\sqrt {\det(Df,円^{t}Df)}},円\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}.}

Dabei ist ${\displaystyle {\sqrt {\det(Df,円^{t}Df)}}}${\displaystyle {\sqrt {\det(Df,円^{t}Df)}}} die verallgemeinerte Jacobi-Determinante (Gramsche Determinante) von ${\displaystyle f}${\displaystyle f}, und ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {L}}^{m}} bezeichnet das ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}.

1. Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen" ${\displaystyle m}${\displaystyle m} die obigen Definitionen von ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}} und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}} mit ${\displaystyle \alpha (m)=\Gamma (1/2)^{m}/\Gamma (1+m/2)}${\displaystyle \alpha (m)=\Gamma (1/2)^{m}/\Gamma (1+m/2)}, wobei ${\displaystyle \Gamma }${\displaystyle \Gamma } die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge ${\displaystyle A}${\displaystyle A} des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl ${\displaystyle m}${\displaystyle m} mit ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=\infty }${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=\infty } für alle ${\displaystyle s<m}${\displaystyle s<m} und ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=0}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{s}(A)=0} für alle ${\displaystyle s>m}${\displaystyle s>m}. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}} und ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}}${\displaystyle {\mathcal {S}}^{m}} bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
   In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} mit gebrochener („fraktaler") Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
2. Die Definition des ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}; das Gleiche gilt für das ${\displaystyle m}${\displaystyle m}-dimensionale sphärische Maß. Dafür wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Durchmessers durch die zugrundeliegende Metrik ${\displaystyle d}${\displaystyle d} ersetzt. Das heißt, aus ${\displaystyle |x-y|}${\displaystyle |x-y|} wird ${\displaystyle d(x,y)}${\displaystyle d(x,y)}.

• Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer, 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996). 

• Maß (Mathematik)
• Felix Hausdorff