Harmonische Norm

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In der Mathematik ist die harmonische Norm eine Norm auf der Kohomologie von Mannigfaltigkeiten.

Sei M {\displaystyle M} {\displaystyle M} eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die harmonische Norm einer de-Rham-Kohomologie-Klasse ist definiert als die L 2 {\displaystyle L^{2}} {\displaystyle L^{2}}-Norm des (nach dem Satz von Hodge) harmonischen Repräsentanten der Kohomologieklasse, äquivalent als das Infimum über die L 2 {\displaystyle L^{2}} {\displaystyle L^{2}}-Norm geschlossener Differentialformen in der Kohomologieklasse. Dabei ist die L 2 {\displaystyle L^{2}} {\displaystyle L^{2}}-Norm einer Differentialform α {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \alpha } definiert durch

α L 2 = M α α {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{L^{2}}=\int _{M}\alpha \wedge *\alpha } {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{L^{2}}=\int _{M}\alpha \wedge *\alpha }

mit dem Hodge-Stern-Operator {\displaystyle *} {\displaystyle *}.

Beziehung zur Gromov-Norm

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Für die Gromov-Norm α 1 {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}} {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}} einer Homologieklasse α H k ( M ) {\displaystyle \alpha \in H_{k}(M)} {\displaystyle \alpha \in H_{k}(M)} und die harmonische Norm der Poincaré-dualen Kohomologieklasse α {\displaystyle \alpha ^{*}} {\displaystyle \alpha ^{*}} gilt die Ungleichung[1]

α 1 k ! ( n 1 ) k v o l ( M ) α L 2 {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}\leq k!(n-1)^{k}{\sqrt {vol(M)}}\Vert \alpha ^{*}\Vert _{L^{2}}} {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}\leq k!(n-1)^{k}{\sqrt {vol(M)}}\Vert \alpha ^{*}\Vert _{L^{2}}},

wenn M {\displaystyle M} {\displaystyle M} eine n {\displaystyle n} {\displaystyle n}-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ricci-Krümmung R i c ( n 1 ) {\displaystyle Ric\geq -(n-1)} {\displaystyle Ric\geq -(n-1)} ist.

Umgekehrt lassen sich für negativ gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten oder lokal symmetrische Räume nichtkompakten Typs bei Homologieklassen nichtverschwindender Gromov-Norm obere Schranken für die harmonische Norm in Abhängigkeit vom Injektivitätsradius und der Gromov-Norm angeben.[2]

  • N. Bergeron, M. H. Șengün, A. Venkatesh: Torsion homology growth and cycle complexity of arithmetic manifolds. Duke Math. J. 165, No. 9, 1629–1693 (2016).
  • N. Dunfield, J. Brock: Norms on the cohomology of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 210, No. 2, 531–558 (2017).
  • C. Connell, S. Wang: Homological norms on nonpositively curved manifolds. Comment. Math. Helv. 97, No. 4, 801–825 (2022).

Einzelnachweise

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  1. Connell-Wang (op.cit.), Theorem 1.5
  2. Connell-Wang (op.cit.), Theorem 1.6 und Theorem 1.9
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