Harmonische Norm
In der Mathematik ist die harmonische Norm eine Norm auf der Kohomologie von Mannigfaltigkeiten.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Sei {\displaystyle M} eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die harmonische Norm einer de-Rham-Kohomologie-Klasse ist definiert als die {\displaystyle L^{2}}-Norm des (nach dem Satz von Hodge) harmonischen Repräsentanten der Kohomologieklasse, äquivalent als das Infimum über die {\displaystyle L^{2}}-Norm geschlossener Differentialformen in der Kohomologieklasse. Dabei ist die {\displaystyle L^{2}}-Norm einer Differentialform {\displaystyle \alpha } definiert durch
- {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{L^{2}}=\int _{M}\alpha \wedge *\alpha }
mit dem Hodge-Stern-Operator {\displaystyle *}.
Beziehung zur Gromov-Norm
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]Für die Gromov-Norm {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}} einer Homologieklasse {\displaystyle \alpha \in H_{k}(M)} und die harmonische Norm der Poincaré-dualen Kohomologieklasse {\displaystyle \alpha ^{*}} gilt die Ungleichung[1]
- {\displaystyle \Vert \alpha \Vert _{1}\leq k!(n-1)^{k}{\sqrt {vol(M)}}\Vert \alpha ^{*}\Vert _{L^{2}}},
wenn {\displaystyle M} eine {\displaystyle n}-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Ricci-Krümmung {\displaystyle Ric\geq -(n-1)} ist.
Umgekehrt lassen sich für negativ gekrümmte Riemannsche Mannigfaltigkeiten oder lokal symmetrische Räume nichtkompakten Typs bei Homologieklassen nichtverschwindender Gromov-Norm obere Schranken für die harmonische Norm in Abhängigkeit vom Injektivitätsradius und der Gromov-Norm angeben.[2]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]- N. Bergeron, M. H. Șengün, A. Venkatesh: Torsion homology growth and cycle complexity of arithmetic manifolds. Duke Math. J. 165, No. 9, 1629–1693 (2016).
- N. Dunfield, J. Brock: Norms on the cohomology of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 210, No. 2, 531–558 (2017).
- C. Connell, S. Wang: Homological norms on nonpositively curved manifolds. Comment. Math. Helv. 97, No. 4, 801–825 (2022).