Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis

Die Gruppe der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}${\displaystyle C(\mathbb {Q} )} besteht aus den Punkten ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} mit rationalen Koordinaten, für die ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} gilt. Die Menge dieser Punkte ist eng mit den primen pythagoräischen Tripeln verwandt. Ist ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen teilerfremden Seitenlängen ${\displaystyle a,b,c}${\displaystyle a,b,c} gegeben, wobei ${\displaystyle c}${\displaystyle c} die Hypotenuse ist, dann gibt es auf dem Einheitskreis den rationalen Punkt ${\displaystyle ({\tfrac {a}{c}},{\tfrac {b}{c}})}${\displaystyle ({\tfrac {a}{c}},{\tfrac {b}{c}})}. Ist umgekehrt ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} ein rationaler Punkt auf dem Einheitskreis, dann gibt es ein primitives rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten ${\displaystyle xc,yc,c}${\displaystyle xc,yc,c}, wobei ${\displaystyle c}${\displaystyle c} das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner von ${\displaystyle x}${\displaystyle x} und ${\displaystyle y}${\displaystyle y} ist.

Die Menge der rationalen Punkte bildet eine unendliche Abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist der Punkt ${\displaystyle (1,0)}${\displaystyle (1,0)}. Die Gruppenoperation oder „Summe" ist ${\displaystyle (x,y)+(t,u)=(xt-uy,xu+yt)}${\displaystyle (x,y)+(t,u)=(xt-uy,xu+yt)}. Geometrisch ist dies die Winkeladdition, wenn ${\displaystyle x=\cos(\alpha )}${\displaystyle x=\cos(\alpha )} und ${\displaystyle y=\sin(\alpha )}${\displaystyle y=\sin(\alpha )}, wobei ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } der Winkel des Radiusvektors ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} mit dem Radiusvektor ${\displaystyle (1,0)}${\displaystyle (1,0)} im mathematisch positiven Sinne ist. Wenn also ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} und ${\displaystyle (t,u)}${\displaystyle (t,u)} jeweils mit ${\displaystyle (1,0)}${\displaystyle (1,0)} die Winkel ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } und ${\displaystyle \beta }${\displaystyle \beta } bilden, ist deren Summe ${\displaystyle (xt-uy,xu+yt)}${\displaystyle (xt-uy,xu+yt)} der rationale Punkt auf dem Einheitskreis mit dem Winkel ${\displaystyle \alpha +\beta }${\displaystyle \alpha +\beta } im Sinne der gewöhnlichen Addition von Winkeln.

Identifiziert man jeweils den Punkt ${\displaystyle (x,y)}${\displaystyle (x,y)} mit der komplexen Zahl ${\displaystyle x+yi}${\displaystyle x+yi}, so entspricht die Addition in ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}${\displaystyle C(\mathbb {Q} )} der Multiplikation in ${\displaystyle \mathbb {C} }${\displaystyle \mathbb {C} }.

Die Gruppe ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}${\displaystyle C(\mathbb {Q} )} ist isomorph zu einer unendlichen direkten Summe von zyklischen Untergruppen von ${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}${\displaystyle C(\mathbb {Q} )}:

${\displaystyle C(\mathbb {Q} )\cong C_{2}\oplus \left(\bigoplus _{p\in \mathbb {P} , \atop p\equiv 1{\pmod {4}}}C_{p}\right),}${\displaystyle C(\mathbb {Q} )\cong C_{2}\oplus \left(\bigoplus _{p\in \mathbb {P} , \atop p\equiv 1{\pmod {4}}}C_{p}\right),}

wobei ${\displaystyle C_{2}}${\displaystyle C_{2}} die durch ${\displaystyle (0,1)}${\displaystyle (0,1)} erzeugte Untergruppe ist, und die ${\displaystyle C_{p}}${\displaystyle C_{p}} jene Untergruppen sind, die von Punkten der Form ${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}-b^{2}}{p}},{\tfrac {2ab}{p}}\right)}${\displaystyle \left({\tfrac {a^{2}-b^{2}}{p}},{\tfrac {2ab}{p}}\right)} mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ,a>b>0,a^{2}+b^{2}=p}${\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ,a>b>0,a^{2}+b^{2}=p} erzeugt werden, wobei ${\displaystyle p}${\displaystyle p} eine Pythagoreische Primzahl ist.

Diese Aussage ist eine Anwendung von Hilberts Satz 90 auf das Problem der rationalen Punkte auf dem Einheitskreis, siehe dazu bei: Lin Tan.

• Lin Tan: The Group of Rational Points on the Unit Circle. In: Mathematics Magazine. Bd. 69, Nr. 3, June 1996, S. 163–171, doi:10.2307/2691462 , Digitalisat (PDF; 792 kB) (Memento vom 8. März 2012 im Internet Archive ) oder direkt https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/1997/0025570x.di021195.02p0087x.pdf.
• Ernest J. Eckert: The Group of Primitive Pythagorean Triangles. In: Mathematics Magazine. Bd. 57, Nr. 1, January 1984, S. 22–26, doi:10.2307/2690291 .

• Gruppe (Mathematik)